Метасистемный подход в управлении: Монография. Миронов С.В - 50 стр.

                                                             ∞ ∂W l
                       f ρ ( z ) = − P ′(τ ) |τ =t + z = − ∫
                                          |τ =t + z dy .    (3.20)
                                       ∂τ                    Cl
    Математическое ожидание времени пребывания процесса в заданной
области
                                       ∞                ∞
                               ρ l = ∫ zf (ρ )dz = ∫ P (τ )dτ .                   (3.21)
                                       0                 t
     Для того момента, когда значения случайного процесса достигают гра-
ницы допустимой области, функция W (t , y ) является решением первого урав-
нения Колмогорова
                                 ∂W l         ∂W l 1 2 ∂ 2W l
                                         − αy       + m             = 0.     (3.22)
                                    ∂t         ∂y     2      ∂y 2
     Заменив в этом уравнении производную Wt′ на − Wτ′ и проинтегрировав
его по переменному y в пределах от C l до ∞ с учетом равенства (3.12), при-
ходим к дифференциальному уравнению
                                   ∂P         ∂P 1 2 ∂ 2 P
                                        = −αy     + m          .           (3.23)
                                   ∂τ          ∂y 2       ∂y 2
     Так как, согласно определению вероятности P (τ ) , имеют место равенст-
ва
                                 P (t ) = 1, P (∞ ) = 0 ,                  (3.24)
то, после интегрирования этого уравнения по τ в пределах от t до ∞ в соот-
ветствии с равенством (3.21), приходим к обыкновенному дифференциаль-
ному уравнению второго порядка относительно ρ = ρ ( y ) с соответствующи-
ми граничными условиями:
                 1 2 ′′
                 m ρ l ′ ( y ) + αyρ l′ ( y ) + 1 = 0,
                2                                          C l < y < ∞,    (3.25)
                 ρ l (C l ) = ρ l (∞ ) = 0.
Решая эту краевую задачу, находим
                               2 y        y    αz 2           αy 2 
                 ρ l ( y ) = 2 ∫ C − ∫ exp − 2 dz  exp 2 dy ,
                             m Cl        Cl    m  
                                                            
                                                                  m 
                                             −1
                        ∞     αy 2   ∞ ∞       α
                C = ∫ exp 2 dy  ∫ ∫ exp 2 y 2 − z 2 dzdy .
                        
                        C               CC
                                                                      (
                                                                      
                                                                              )
                                                                           (3.26)
                         l    m      l l        m                
     Оценим теперь среднее число выбросов значений марковского процесса
за данный уровень. Рассмотрим временной интервал (t, t+∆t). Поскольку его
длина не зависит ни от τ, ни от y, то функция вероятности того, что значения
процесса не опустятся ниже уровня Cℓ, должна удовлетворять уравнению
ФПК
            ∂v (τ , y )     ∂  ∂v (τ , y )  1 ∂ 2
               ∂τ
                         − α  y
                            ∂y 
                                             −
                                      ∂y  2 ∂y    2
                                                                  (
                                                      m 2 v (τ , y ) = 0 .)(3.27)


50