ВУЗ:
Составители:
106
прерывны всюду. Хотя известно, что оптимумы могут достигаться в точках
разрыва функции или ее градиента
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇
N
x
f
x
f
x
f
f ...;
21
.
Об этом следует помнить при анализе данной функции.
Для построения конструктивных критериев оптимальности необходимо
исключить из рассмотрения подобные ситуации, которые весьма усложняют
анализ. Наконец, в ряде случаев приходится ограничиваться лишь идентифи-
кацией локальных оптимумов, т.к. целевая функция не всегда обладает свой-
ством выпуклости и может оказаться мультимодальной. Например, функция
Химмельблау
22
21
2
2
2
1
)7()11()( −++−+= xxxxxf
имеет четыре минимума.
Критерии оптимальности необходимы для распознавания решений и
составляют основу большинства используемых методов поиска решений.
Рассмотрим разложение Тэйлора для функции нескольких переменных:
),x(Rx)x(fx)x(f)x(f)x(f Δ+Δ∇Δ+∇+=
2ТТ
2
1
где
x
- точка разложения;
Δx=x-
x
- величина изменения х;
Т
)(xf∇
- N-мерный вектор-столбец первых производных функции в
точке разложения;
)()(
2
xHxf =∇
- симметричная матрица порядка NxN вторых частных
производных функции в точке разложения. Эту матрицу часто называют
матрицей Гессе (гессенианом);
R(Δx) – сумма членов разложения порядка выше второго.
Пренебрегая последней суммой, определим величину изменения целе-
вой функции, соответствующую изменению х:
xxfxxfxfxf Δ∇Δ+∇+= )(
2
1
)()()(
2ТТ
.
Если 0)()( ≥−=Δ xfxff , точка
x
- глобальный минимум, в случае
выполнения неравенства для всех х (х**). Когда эти неравенства справедливы
только в некоторой окрестности точки
x
, то это – локальный минимум (х*).
Для глобального или локального максимума справедливо неравенство
0)()( ≤−=Δ xfxff .
В случае если Δf>0 или Δf<0, в зависимости от выбора точек в окрест-
ности
x
, то это – седловая точка.
По условию существования экстремума функции многих переменных
Δf(
x
) = 0, тогда
xxfxxf Δ∇Δ=Δ )(
2
1
)(
2Т
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- …
- следующая ›
- последняя »
