Основы автоматизированного проектирования химических производств. Миронов В.М - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

107
В курсе линейной алгебры доказывается, что знак Δf(х) определяется
квадратичной формой
xxfxxQ Δ∇Δ= )()(
2Т
или
zAzzQ ⋅⋅=
T
)(
.
По определению квадратичной формой от нескольких переменных на-
зывается однородный многочлен второй степени от этих переменных. На-
пример, для трех переменных
322331132112
2
333
2
222
2
111
222)( xxaxxaxxaxaxaxaxQ +++++=
;
233213311221
;; aaaaaa
=
=
=
;
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A =
;
3
2
1
333231
232221
131211
321
)(
x
x
x
aaa
aaa
aaa
xxxxQ ⋅⋅=
.
Из линейной алгебры известно, что:
А – положительно определенная матрица, если Q(z)>0 для любых z;
А – положительно полуопределенная матрица, если Q(z)≥0 для любых z;
А – отрицательно определенная матрица, если Q(z)<0 для любых z;
А – отрицательно полуопределенная матрица, если Q(z)≤0 для любых z;
А – неопределенная матрица, если
Q(z)<0 для одних z, и Q(z)>0 для ос-
тальных z.
Для наличия в точке х* локального минимума необходимо, чтобы вы-
полнялось равенство ∇f(x*)=0 и матрица ∇
2
f(x*) была положительно полуоп-
ределенной. Это достаточное условие.
Если ∇f(x*)=0 и матрица ∇
2
f(x*) положительно определена, то х* есть
точка изолированного строгого минимума.
Вместе с тем можно показать, что если
0*)(
2Т
≥Δ∇Δ xxfx
для всех х, то
f(x) – выпуклая функция, а локальный минимум оказывается глобальным.
Аналогичные рассуждения можно произвести и для максимума функ-
ции.
ПРИМЕР 7.10. Оптимизировать 1
11
),(
21
2
221
2
121
++++−=
xx
xxxxxxf ;
0
1
2;0
1
2
2
2
12
2
2
1
21
1
=−−=
∂
∂
=−−=
∂
∂
x
xx
x
f
x
xx
x
f
.
Имеется единственное решение: x
1
=1; x
2
=1;
1;4
2
2;4
2
2
12
2
21
2
3
2
2
2
2
3
1
2
1
2
−=
∂∂
∂
=
∂∂
∂
=+=
∂
∂
=+=
∂
∂
xx
f
xx
f
xx
f
xx
f
.
Выберем точку
x
в окрестности решения:

Страницы