Основы автоматизированного проектирования химических производств. Миронов В.М - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

109
Все они основаны на итерационной процедуре, реализуемой в соответ-
ствии с формулой
)(
1 kkkk
xSxx
α
+
=
+
, (7.5)
где x
k
– текущее приближение к решению;
α
k
– параметр, характеризующий длину шага;
S(x
k
)=S
k
– направление поиска в N–мерном пространстве управляемых
переменных x
i
(i=1..N).
Способ определения S(x) и α на каждой итерации связан с особенно-
стями применяемого метода.
Метод Коши (метод наискорейшего спуска)
Допустим, что в некоторой точке
x
пространства управляемых пере-
менных требуется определить направление наискорейшего локального спус-
ка, т.е. наибольшего локального уменьшения целевой функции. Разложим
целевую функцию в окрестности точки
x
в ряд Тэйлора, отбросив члены
второго порядка малости и выше:
...)()()(
T
+Δ∇+= xxfxfxf
Локальное уменьшение целевой функции определяется вторым слагаемым,
т.к.
)(xf - фиксировано. Наибольшее уменьшение целевой функции ассо-
циируется с выбором такого направления в (7.5), которому соответствует
наибольшая отрицательная величина скалярного произведения в (7.5) – вто-
рое слагаемое. Указанный выбор обеспечивается при условии
)()( xfxS −∇=
.
Тогда второе слагаемое в (А) примет вид
)()(
T
xfxf ∇∇α−
.
Метод обладает двумя недостатками:
1. Необходимостью выбора подходящего значения α.
2. Медленной сходимостью в точке минимума, вследствие малости гра-
диента функции в окрестности этой точки.
Поэтому целесообразно определять α на каждой итерации
)(
1 kkkk
xfxx
∇
α
+
=
+
.
Значение α
k
вычисляется минимизацией
)(
1+k
xf
. в направлении
)(
k
xf
.
Метод Коши позволяет существенно уменьшать значение целевой
функции при движении из точек, расположенных на значительном расстоя-
нии от минимума. Поэтому он часто используется при реализации градиент-
ных методов в качестве начальной процедуры. Одно из главных преиму-
ществ метода Коши связано с его устойчивостью.
ПРИМЕР 7.12. Оптимизировать функцию
2
2
2
1
2)( xxxf +=
. (Дейст-
вительное значение минимума – [0,0]).

Страницы