Основы автоматизированного проектирования химических производств. Миронов В.М - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

110
Примем начальное приближение
1;1
)0(
2
)0(
1
== xx
;
2
2
1
1
2;4 x
x
f
x
x
f
=
∂
∂
=
∂
∂
;
k
k
k
k
kk
xx
x
f
xx
11
1
1
)1(
1
4α−=
∂
∂
α−=
+
;
k
k
k
k
kk
xx
x
f
xx
11
2
2
)1(
2
2α−=
∂
∂
α−=
+
.
Для нахождения второго приближения вычисляется целевая функция в точке
],[
)1(
2
)1(
1
++ kk
xx
:
2
2
2
2
1
11
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
α−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
α−=
+
x
f
x
x
f
xf
k
k
k
k
k
k
k
.
Наилучшее значение α
k
определяется из уравнения:
024
2
2
1
1
1
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
α−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
α−=
α∂
∂
+
x
f
x
x
f
x
f
k
k
k
k
k
k
k
k
.
Решая это уравнение относительно α
k
, имеем
18
5
18164
14116
864
416
22
22
2
2
2
1
2
2
2
1
−=
⋅+⋅
⋅−⋅−
=
+
−−
=α
xx
xx
k
;
212;414
2
0
1
0
=⋅=
∂
∂
=⋅=
∂
∂
x
f
x
f
;
.
9
4
18
5
21;
9
1
18
5
41
)1(
2
)1(
1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+=−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+= xx
Вычисления заканчиваются, если при заданных условиях получается
Mk
x
xx
xf
x
k
i
k
i
k
i
fk
=ε<
−
ε<∇
+
+
;;)(
)1(
)()1(
,
где М – заданное число итераций.
Метод Ньютона
Разложим целевую функцию в ряд Тэйлора, отбрасывая все члены раз-
ложения выше второго порядка малости. Получим квадратичную аппрокси-
мацию
xxfxxxfxfxf
kkk
Δ∇Δ+Δ∇+=
T2TT
)(
2
1
)()()(
,
где f(x) – аппроксимирующая функция переменной х в точке х
k
.
На основе квадратичной аппроксимации целевой функции можно сфор-
мулировать последовательность итераций таким образом, чтобы во вновь по-
лучаемой точке градиент функции обращался в нуль, т.е.:

Страницы