ВУЗ:
Составители:
111
0)()()(
2
=Δ∇+∇=∇ xxfxfxf
kk
.
Откуда
)()(
12
kk
xfxfx ∇−∇=Δ
−
.
На основе этого получается оптимизационный метод Ньютона:
)()(
12
1
kkkk
xfxfxx ∇∇−=
−
+
.
ПРИМЕР 7.13. Оптимизировать функцию
2
221
2
1
548)( xxxxxf ++=
.
21
21
104
416
)(
xx
xx
xf
+
+
=∇
;
104
416
)()(
2
==∇ xHxf
; 144)(de
t
=
x
H
.
Примем
10
10
)0(
=x
, тогда
0
0
140
200
164
410
144
1
10
10
)1(
=⋅
−
−
⋅−=x
.
Полученное значение совпадает с точным решением.
Таким образом, задача оптимизации квадратичной функции решается по
методу Ньютона с помощью одной итерации при любой начальной точке.
В случае, если матрица Гессе положительно определена, то направление по-
иска по методу Ньютона оказывается направлением спуска. Если в некоторой
точке она отрицательно определена, то указанное
направление – подъем. В
случае неопределенности матрицы Гессе однозначный вывод сделать невоз-
можно.
Модифицированный метод Ньютона
Опыт показывает, что при исследовании не квадратичных функций ме-
тод Ньютона не отличается высокой надежностью. Метод можно модифици-
ровать для обеспечения уменьшения целевой функции от итерации к итера-
ции и осуществлять поиск вдоль прямой, как в методе Коши.
Последовательность итераций определяется формулой
)()(
12
1
kkkkk
xfxfxx ∇∇α+=
−
+
.
Выбор α
k
таков, чтобы выполнялось условие
min)(
1
⇒
+k
xf
.
Основной недостаток метода – это необходимость на каждой итерации
строить и решать линейное уравнение, содержащее элементы матрицы Гессе.
Метод Марквардта
Метод Марквардта – это комбинация методов Коши и Ньютона, в
которой сочетаются их положительные свойства. В этом методе
направление поиска определяется равенством
)(][)(
1)()(
k
kk
k
xfEHxS ∇λ+−=+
−
,
где Е – единичная матрица.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- …
- следующая ›
- последняя »
