Моделирование разностных уравнений. Мироновский Л.А. - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

104
8. Человек держит за конец резиновый жгут длиной 1 м, привя!
занный к дереву. У другого конца жгута сидит жук. Каждую секунду!
жук проползает 1 см по жгуту. Каждую секунду человек, держа ко!
нец жгута, удаляется от дерева на 1 м. Доползет ли жук до человека
и если да, то за какое время?
Решение. Доля жгута в процентах, пройденная жуком за n се!
кунд, описывается разностным уравнением S(n) = S(n–1)+1/n, откуда
S(n) = 1+1/2+1/3+1/4+...+1/n.
Известно, что с ростом n эта сумма
неограниченно возрастает. Для ре!
шения надо найти такое n, чтобы
величина S(n) достигла (или превы!
сила) 100%. Заметим, что попыт!
ка прямого компьютерного опреде!
ления искомого n с помощью
MATLAB!программы типа n = 1;
S=1;while S<100,n=n+1;S=S+1/n;end оказывается безуспешной, по!
скольку ряд возрастает очень медленно и компьютер «зависает».
Воспользуемся формулой Эйлера для оценки частных сумм гармо!
нического ряда S(n) » ln n + 0,577215, которая при n > 20 обеспечи!
вает очень высокую точность. Подставляя в нее S(n) = 100, получа!
ем: ln n = 100 – 0,577215 = 99,42, откуда n » e
99,42
с.
Ответ. Теоретически жук доползет до человека, однако на это
потребуется около 4,8·10
32
тысячелетий. И место встречи будет на!
ходиться слишком далеко.
9. Исследовать нелинейное разностное уравнение второго поряд!
ка
1
1
1
.
n
n
n
x
x
x
1
2
Построить график решения для 1 < n < 15 при х
1
= 1,
х
2
= 2.
Ответ. График решения при х
0
= 1, х
1
= 2 приведен на рисунке.
MATLAB – программа для его построения:
clear x;x(1) = 1;x(2) = 2; for i = 2:14; x(i+1) = (x(i)+1)/x(i1);
end, plot(x)
10. Дано нелинейное разностное уравнение второго поряд!
ка
11
1.
nn n
xx x1 2
Найдите х
2007
, если х
1
= 1799, х
2
= 1828 (это
годы рождения наших великих писателей).
Указание. При любых положительных начальных условиях
х
0
= а, х
1
= b, решение – периодическая функция с периодом 5, т. е.
начиная с шестого номера, значение членов повторяются (докажите это).
Ответ. Поскольку остаток от деления 2007 на 5 равен 2, получа!
ем х
2002
= х
2
= 1828.
0
1
2
3
02468101214

Страницы