Моделирование разностных уравнений. Мироновский Л.А. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

23
Кроме того, он позволяет дать ответ на вопрос о структуре стада
– процентном соотношении численности коров, телок!двухлеток
и телок!однолеток при больших n, а именно их численность будет
соотноситься, как компоненты первого собственного вектора мат!
рицы А, т. е. x : y : z = 0,7710 : 0,3589 : 0,5261. Другими словами,
коров будет около 46,6%, телок!двухлеток – около 21,6%, телок!
однолеток – около 31,8%. Полученное выше решение [x, y, z] =
= [ 872 406 595] для n = 19 характеризуется как раз таким соотно!
шением.
Матричный способ. Он опирается на использование степенных
формул
11
11
XAX; CAX.
nn
nn
v11
При работе в пакете MATLAB этот способ удобнее всего, посколь!
ку после ввода матрицы А решение получается с помощью одной един!
ственной команды:
A=[1 1 0;0 0 1;1 0 0]; v=[2 1 1]*A^19*[1;0;0].
В результате получаем ответ: v = 2745 – это численность стада на
двадцатый год.
Ниже для справки приведены некоторые степени матрицы А = [1 1 0;
0 0 1; 1 0 0], вычисленные в пакете MATLAB:
234 5
111 211 321 432
A 100, A 110, A 111, A 211,
110 111 211 321
1 21212 12
34 34 34 34
555 5
34 34 34 34
67 67 67 67
618 19
6 3 3 595 406 277 872 595 406
A 3 2 1 , A 277 189 129 , A 406 277 189 .
4 3 2 406 277 189 595 406 277
12 1 2 1 2
3 4 3 4 3 4
55 5
3 4 3 4 3 4
67 6 7 6 7
Любопытно, что все они обладают скрытой симметрией, которая
становится явной после перестановки второй и третьей строк.
Динамика изменения поголовья стада по годам в обычном и лога!
рифмическом масштабах иллюстрируется рис. 1.4. Звездочками по!
казана общая численность стада.
Вычисления проводились с помощью следующей MATLAB!про!
граммы:
X0=[1;0;0]; A=[1 1 0;0 0 1;1 0 0]; X1=X0;X=zeros(3,20);
for i=1:20, X(:,i)=A*X1; X1=X(:,i); end
x=X(1,:); y=X(2,:); z=X(3,:); v=2x+y+z; t=1:20;

Страницы