Моделирование разностных уравнений. Мироновский Л.А. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

21
Пример 3. Задача Нарайаны (Индия, XIV в.). Сколько коров и
телок произойдет от одной коровы в течение 20 лет, если корова в
начале каждого года приносит телку, а телка дает такое же потом!
ство в начале года, достигнув трех лет.
Решение. Пусть x
n
– число коров, которые принесли потом!
ство в начале n!го года (число новорожденных телок тоже равно x
n
);
y
n
– число телок, которые принесут потомство через год; z
n
– число
телок, которые принесут потомство через два года.
Тогда общее число голов в стаде равно v
n
= 2 x
n
+ y
n
+ z
n
.
В силу условий задачи имеем систему разностных уравнений:
11
11
11
,1,
, 0,
,0,
2.
nnn
nn
nn
nnnn
xxy x
yz y
zx z
vxyz
1 2 1
11
11
1 22
(1.20)
Перепишем ее в матричной форме:
12
11
110 1
XAX;X ,A001,X0.
100 0
CX ; C 2 1 1 .
nn
nn
x
y
z
34 3 4 34
56 5 6 56
777 7
56 5 6 56
89 8 9 89
7 7
(1.21)
Рассмотрим три подхода к решению этой системы разностных урав!
нений – скалярный, векторный и матричный.
Скалярный способ. Исключая переменные y
n
, z
n
из системы (1.20),
перейдем от нее к одному скалярному разностному уравнению тре!
тьего порядка
32nnn
xxx1 2
с начальными условиями x
1
= x
2
= x
3
= 1.
Будем вычислять значения x
n
по шагам, подставляя n = 1, 2, ..., 16.
Получим последовательность чисел 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28,
41, 60, 88, 129, 189, 277, 406, 595, 872.
Заметим, что численность стада определяется формулой
12
2.
nnn n
vxx x1 22
Значит, через 20 лет стадо будет состоять из n = 2 · 872 + 595 +
+ 406 = 2745 голов.
При ручном счете этот способ быстрее всего приводит к цели.

Страницы