Моделирование разностных уравнений. Мироновский Л.А. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

19
Каждую секунду он съедает одну бактерию, после чего размножается
делением. Какова судьба колонии бактерий, если их начальная чис!
ленность равна N?
Таким образом, сначала было N бактерий и один вирус. На первой
секунде вирус съел одну бактерию и размножился, число бактерий так!
же удвоилось, в результате стало 2(N – 1) бактерий и 2 вируса и т. д.
Решение. Обозначим через x и y текущее число вирусов и бакте!
рий и рассмотрим вектор
X
x
y
12
3
4 5
67
. Матричное описание этой задачи
имеет вид
X(t + 1) = AX(t),
20
A,
22
12
3
4 5
6
78
(0) 1
X(0) .
(0)
x
yN
1212
33
4 5 4 5
6767
Для получения решения воспользуемся сначала степенной форму!
лой (1.16). Последовательно возводя матрицу А в степени 2, 3, ..., n,
находим
A
n
= 2
n
10
1n
12
3 4
5
67
,
12
0
10 1
XAX2 2.
1
tt t
t
tNt
3434
55
6767
88
99
Переходя к скалярной форме записи, получаем
x = 2
t
, y = (N – t) 2
t
.
Переменная y обращается в нуль при t = N, следовательно, коло!
ния вымрет через N секунд.
Второй способ решения опирается на вычисление собственных век!
торов матрицы А. В данном случае мы имеем дело со случаем крат!
ных собственных чисел z
1
= z
2
= 2, поэтому решение находят в форме
(1.18):
11 2
X( ) ( H H )2 ,
t
tct1 2
(1.19)
где
1
0
H
1
12
3
4 5
67
– единственный собственный вектор матрицы А.
Для определения корневого вектора
2
H подставляем t = 0 и ис!
пользуем начальные условия
2
1
HX(0) .
N
12
33
4 5
67
Коэффициент с
1
= –1 находим из равенства
211
(A 2E)H 2 H ,c1 2 ко!
торое получается после подстановки формулы (1.19) в исходную си!
стему уравнений.

Страницы