Составители:
17
Общее решение неоднородного уравнения получаем как сумму ча!
стного решения и общего решения соответствующего однородного
уравнения
12
1
sin cos .
33 3
k
xckck
11
2 33
Коэффициенты с
1
, с
2
находим из начальных условий: с
1
=
83
9
,
с
2
=
2/3.
1.3. Системы линейных разностных уравнений
Матричная запись системы линейных однородных разностных
уравнений имеет вид
X(t + 1) = AX(t),
0
X(0) X ,1 (1.15)
где
X
n
R1
– вектор переменных; А – квадратная матрица постоян!
ных коэффициентов; X
0
– вектор начальных условий.
Решение этой системы может быть записано в компактной сте!
пенной форме:
X(t) = A
t
X
0
, (1.16)
однако на деле процедура аналитического определения элементов
матрицы A
t
представляет значительные трудности.
Для матриц простой структуры существует более удобный способ
записи решения. В соответствии с ним сначала надо найти собствен!
ные числа и собственные векторы матрицы A. Собственные числа z
i
получаем как корни характеристического уравнения det(A – zE) = 0,
собственные векторы H
i
находим из соотношений АH
i
=
z
i
H
i
. Форму!
ла для общего решения имеет вид
X(t) = с
1
H
1
1
t
z
+
... + с
n
H
n
t
n
z
. (1.17)
Постоянные с
i
определяются из начальных условий путем решения
системы линейных алгебраических уравнений X(0) = с
1
H
1
+
... + с
n
H
n
.
В случае комплексных и кратных корней формула заметно услож!
няется. При наличии пары комплексных корней нужно выделять
вещественную и мнимую части соответствующих слагаемых в общем
решении и рассматривать их линейную комбинацию. При наличии
кратных корней в формуле (1.17) появляются полиномиальные мно!
жители. В частности, корню z
i
кратности k в общем решении соот!
ветствует слагаемое вида
1
2
1
11
HHH,
kk
kki
ttz33 31
(1.18)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- …
- следующая ›
- последняя »
