Составители:
16
Общее решение разностного уравнения имеет вид
11 22
() .
nn
n
Tx cz cz1 2
Из начальных условий
01
() 1, ()Tx Tx x11 находим
12
1
.
2
cc11
Отсю!
да получаем общую формулу для многочлена Чебышева
1212
22
1
() 1 1 .
2
nn
n
Tx x x x x
34
567677
89
Вхождение радикалов в эту формулу – кажущееся, при раскрытии
скобок все они взаимно сокращаются. Коэффициент при старшем
члене равен 2
n–1
. Все нули многочленов Чебышева и все их экстрему!
мы сосредоточены на интервале [–1, 1].
Например, при n = 2 получаем
12
22 2 22 2 2
2
1
() 2 1 1 2 1 1 2 1.
2
Tx x x x x x x x345454554535
Этот многочлен имеет два нуля, расположенных в точках
2/2,1
и минимум в точке 0 (рис. 1.2). Значения многочлена в точке мини!
мума и на краях интервала по абсолютной величине одинаковы и
равны единице.
Решение неоднородных разностных уравнений
Рассмотрим линейное неоднородное разностное уравнение
11 110
... ,
nk n nk k k k
xax axaxf11112
где f
k
–
известная функция дискретного аргумента.
Как и в случае дифференциальных уравнений, общее решение это!
го уравнения представляет собой сумму общего решения соответству!
ющего однородного уравнения и любого частного решения неодно!
родного уравнения. Частное решение обычно находят в том же виде,
что и функцию f
k
. Для определения постоянных коэффициентов, вхо!
дящих в общее решение неоднородного уравнения, используют на!
чальные или краевые условия.
Пример 15. Неоднородное разностное уравнение второго порядка
с комплексными корнями
21 0 1
1; 1; 2 .
kkk
xxx x x112 2 2
Находим частное решение и корни характеристического полинома
2
част 1,2
13
1
;10; .
32
i
xzzz
12
3 4433
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- …
- следующая ›
- последняя »
