Моделирование разностных уравнений. Мироновский Л.А. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

15
Пример 13. Решить разностное уравнение третьего порядка
y
n
+
3
– (a + 4)y
n
+
2
+ 4(a + 1)y
n
+
1
– 4y
n
= 0;
y
0
= b, y
1
= 2b + 2c, y
2
= 4b + 8c.
Выписываем характеристическое уравнение
z
3
–
(a + 4)z
2
+ 4(a + 1)z – 4 = (z – a)(z – 2)
2
= 0
и находим его корни z
1
= z
2
= 2, z
3
= a,
Общее решение имеет вид:
12 3
()2
nn
n
yccn ca12 2
.
Находим коэффициенты с
1
, с
2
и с
3
:
с
1
+ с
3
=
x
0
, (с
1
+ с
2
)2 + aс
3
=
x
1
, (с
1
+ 2с
2
)4 + a
2
с
3
=
x
2
.
Следовательно, с
1
=
b; с
2
= c; с
3
=
0.
Ответ. y
n
=
(b + cn)2
n
. Удивительно, но решение не зависит от
параметра a.
Пример 14. Разностные уравне!
ния и многочлены Чебышева.
Классические многочлены Чебы!
шева T
n
(x) определены на интерва!
ле [–1, 1]. Они обладают рядом за!
мечательных свойств. В частности,
среди всех полиномов с фиксиро!
ванным коэффициентом при стар!
шей степени х они имеют минималь!
ную амплитуду на интервале [–1, 1]
(полиномы, наименее уклоняющи!
еся от нуля). Первые четыре много!
члена имеют вид (рис. 1.2)
23
01 2 3
() 1, () , () 2 1, () 4 3.Tx TxxTx x Tx x x11 1212
Многочлены могут быть заданы с помощью рекуррентного соот!
ношения
11
() 2 () ().
nnn
Tx xTxTx1 2
Оно представляет собой линейное однородное разностное урав!
нение второго порядка. Ему соответствует характеристическое
уравнение
22
1,2
210, 1.zxz zxx12334 1
Рис. 1.2
0
0,5 1
0,5
1
x
T
i
(x)
–0 , 5–1
–0,5
–1

Страницы