Составители:
18
где Н
1
, ..., Н
к
корневые векторы матрицы А, отвечающее собствен!
ному числу z
i
, причем Н
1
– ее собственный вектор, а Н
k
– цикличес!
кий вектор, порождающий инвариантные подпространства матрицы
для указанного собственного числа.
К сожалению, элементы векторов Н
2
, ..., Н
k
зависят от началь!
ных условий и не могут быть рассчитаны заранее. Подробнее соот!
ветствующая теория и методика отыскания решения системы (1.15)
с помощью корневых векторов будет изложена в следующем разделе.
Пример 1. Найдем решение системы разностных уравнений вто!
рого порядка
x(t + 1) = x(t) – 3y(t),
y(t + 1) = x(t) + y(t).
Выписываем характеристическое уравнение
13
0
11
z
z
11
2
1
и на!
ходим его корни
1,2
13zi1 2 . Собственные векторы матрицы A:
H
1
=
3
1
i
12
34
56
, H
2
=
3
1
i
12
3
45
6 7
.
Запишем первую компоненту решения:
H
1
1
t
z
=
3(1 3)
;
(1 3 )
t
t
ii
x
y
i
12
3
12
4
56
56
78
3
78
или
32(cos sin )
33
2(cos sin ).
33
t
t
xi ti t
ytit
11
23
11
23
Выделяем вещественную и мнимую части
12
12
23sin , 23cos ,
33
2cos , 2sin
33
tt
tt
xtxt
yt yt
11
2 3 2
11
22
и строим из них общее решение
12
12
12
12
12
12
3sin 3 cos
33
X2 .
cos sin
33
t
ctc t
xx
tc c
yy
ctct
33
4 5
67
89
4 5 4 5
7
89
89 89
33
7
89
Пример 2. Задача о размножении бактерий. В колонию бактерий,
численность которых удваивается каждую секунду, попадает вирус.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- …
- следующая ›
- последняя »
