Составители:
25
При этом могут использоваться методы, аналогичные тем, что
применяются для получения определяющих дифференциальных
уравнений [11].
Рассмотрим три таких метода: метод последовательных сдвигов
(аналог метода последовательного дифференцирования), метод ха!
рактеристического полинома и метод списков.
Метод последовательных сдвигов
Пусть задана функция y = f(t) и требуется синтезировать разно!
стное уравнение (1.23), решением которого она является. Для отыс!
кания этого уравнения рассмотрим наряду с функцией y(t) “сдвину!
тые” функции y(t), y(t + h), y(t + 2h), ..., причем операцию сдвига
будем выполнять до тех пор, пока очередная функция не окажется
линейной комбинацией предыдущих:
y(t + nh) = a
0
y(t) + a
1
y(t + h) + ... + a
n–1
y(t + (n – 1)h).
Найденное соотношение и будет представлять собой искомое раз!
ностное уравнение.
Для проверки системы функций на линейную зависимость можно
использовать стандартные математические критерии: вычисление
определителя Грама, сингулярных чисел, определение ранга и т.п.
Пример 1. Найдем разностное уравнение, имеющее своим реше!
нием заданную функцию y(t) = e
t
.
Р е ш е н и е . Выбирая шаг h и рассматривая функции y(t), y(t + h) = e
h
e
t
,
убеждаемся в их линейной зависимости: y(t + h) = a y(t), где а = e
h
.
Следовательно, искомое разностное уравнение имеет вид
y(t + h) – e
h
y(t) = 0, y(0) = 1.
Пример 2. Пусть требуется получить функцию y(t) = sint.
Решение. Для отыскания определяющего разностного уравне!
ния рассмотрим “сдвинутые” функции y(t + h) и y(t + 2h), где кон!
станта h задает шаг дискретизации аргумента. Используя формулы
тригонометрии, можем записать
() sin 1
( ) cos sin sin cos 2cos .
(2)cos2sin sin2cos 1
yt t
yt h h t h t h
yt h h t h t
1
2 1 3 2 3 4
2 1 3 2 3
(1.24)
Домножим эти равенства на коэффициенты, указанные справа, и
сложим:
2
(2)2cos( ) ()
(1 2cos cos2 )sin (sin2 2sin cos )cos .
yt h hyt h yt
hht hhht
12 11 3
32 1 1 2
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- …
- следующая ›
- последняя »
