Составители:
6
Непосредственной подстановкой легко убедиться, что
t
xe1
удов!
летворяет обоим уравнениям.
Так же как и дифференциальные, разностные уравнения делятся
на линейные и нелинейные, на однородные и неоднородные, на урав!
нения с постоянными и переменными коэффициентами. Например,
уравнение (1.2) является линейным однородным разностным урав!
нением первого порядка.
Линейное однородное разностное уравнение n!го порядка с посто!
янными коэффициентами имеет вид:
110
() ( 1)... (1) ()0.
n
xt n a xt n axt axt11 12 11 11 3 (1.3)
Решением этого уравнения называется решетчатая функция x(t),
t = 0, 1, 2, ..., обращающая уравнение в тождество. Можно говорить
и о непрерывном решении – функции x(t), удовлетворяющей уравне!
нию (1.3) при любом
0 t112
.
Иногда, чтобы подчеркнуть дискретный характер изменения вре!
мени, уравнение (1.3) записывают в форме
11 110
... 0.
nk n nk k k
xax axax11112
Рассмотрим несколько простых задач, приводящих к линейным
разностным уравнениям.
Пример 2. Пусть имеется геометрическая прогрессия
23
1, , , , . . . .aa a
Ее можно описать однородным разностным уравнени!
ем первого порядка
(1) (),(0)1.xt axt x12 2 (1.4)
Действительно, подставляя последовательно 0, 1, 2, 3,t 1 1 , по!
лучаем
23
(0) 1, (1) , (2) , (3) , ... .xxaxaxa111 1
Таким образом, геометрическая прогрессия является решением
простейшего разностного уравнения, подобно тому как экспонента
является решением простейшего дифференциального уравнения. Эта
аналогия распространяется и на уравнения более высоких порядков.
Как правило, общее решение уравнения (1.3) представляет собой
линейную комбинацию n геометрических прогрессий (для дифферен!
циальных уравнений мы имели линейную комбинацию экспонент).
Пример 3. Пусть имеется арифметическая прогрессия
,,2,...aa da d11 . Ее можно описать неоднородным разностным урав!
нением первого порядка
(1) () ,(0)xt xt d x a12 1 2 (1.5)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »
