Составители:
8
в течение года, если каждая пара кроликов рождает ежемесячно но!
вую пару и новорожденные достигают зрелости через месяц. Таким
образом, получается некоторая последовательность; нас интересует,
каким уравнением она описывается.
В первый момент времени число пар равно x
0
= 1. Через месяц
прибавится пара новорожденных, но число зрелых пар не изменится
x
1
= 1.
Через два месяца крольчата достигнут зрелости и общее число пар
будет x
2
= 2.
Через k месяцев число зрелых пар будет x
k
, а через k + 1 месяцев
x
k
+
1
, но так как к этому времени появится x
k
пар приплода, то через
k + 2 месяцев общее число зрелых пар
21kkk
xxx1 2 . (1.8)
Мы получили разностное уравнение второго порядка. Оно описы!
вает последовательность, где каждый следующий член равен сумме
двух предыдущих:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... . (1.9)
Числа, входящие в эту последовательность, называются числами
Фибоначчи и обладают многими интересными свойствами. Напри!
мер, в ботанике известно так называемое явление филлотаксиса,
связанное со спиральным расположением листьев на стеблях, се!
мян в плодах. Спиральные линии образуют чешуйки еловых и сосно!
вых шишек, семена в головке подсолнечника и т. д. Оказывается,
что число “правых” и “левых” спиралей при этом представляет собой
соседние числа Фибоначчи. Так, для сосновых шишек число “пра!
вых” и “левых” спиралей равно 5 и 8, а для еловых – 8 и 13.
В двух последних примерах мы свели исходные задачи к решению
разностных уравнений. Перейдем к описанию методов решения та!
ких уравнений.
1.2. Решение однородных разностных уравнений
Свойства разностных и дифференциальных уравнений и методы
их решения во многом совпадают. Так, разностное уравнение n!го
порядка (1.3) имеет ровно n линейно независимых частных решений
x
1
(t), ..., x
n
(t). Любая их линейная комбинация, например x
1
(t) +
+ 3x
2
(t), также является решением.
Общее решение имеет вид
11
() () ... (),
nn
xt cx t cx t122
(1.10)
где c
1
, ..., c
n
– произвольные коэффициенты.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
