Составители:
10
Оно имеет вещественные и различные корни
1,2 1 2
0,5(3 5); 2,62; 0,38zzz1 23 3.
Следовательно, общее решение имеет вид
u
k
= c
1
2,62
k
+ c
2
0,38
k
. (1.13)
Пример 3. Найдем общее решение уравнения Фибоначчи (1.8).
Составляем характеристическое уравнение
z
2
– z – 1 = 0.
Корни этого уравнения также вещественны и различны:
12
0,5 (1 5) 1,62 0,5 (1 5) 0,62.zz1 23 1 4 3 4
Общее решение уравнения Фибоначчи имеет вид
12
1, 6 2 ( 0, 6 2) .
kk
k
xc c123
(1.14)
Пример 4. Решим разностное уравнение
x(t + 2) – 3x (t + 1) + 2x(t) = 0.
Составляем характеристическое уравнение: z
2
– 3z + 2 = 0.
Находим его корни: z
1
= 1, z
2
= 2.
Общее решение: x = c
1
+ c
2
2
t
.
Комплексные корни
Если характеристическое уравнение имеет пару комплексно!со!
пряженных корней
1,2
zi123 4, то соответствующее им реше!
ние
11 22
()
tt
xt cz cz1 2
может быть записано в вещественном виде
12
() ( sin cos ),
t
xt c t c t1 234 3
где
22
, arctg
1
2 3 451 63
4
(сравните с аналогичной формулой для
дифференциальных уравнений).
Из приведенной формулы вытекает, что если корни характерис!
тического уравнения лежат внутри единичного круга, то решение
разностного уравнения будет устойчивым. Это широко известный
критерий устойчивости дискретных систем. Напомним, что для ус!
тойчивости непрерывных систем корни характеристического уравне!
ния должны лежать в левой полуплоскости.
Пример 5. Решим разностное уравнение
x(t + 2) + 2x(t + 1) + 4x(t) = 0.
Характеристическое уравнение: z
2
+ 2z + 4 = 0.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
