Составители:
12
равно порядку уравнения. Аналогично для разностных уравнений
для нахождения постоянных c
1
, ..., c
n
надо задать n условий, связы!
вающих значения x(t) в различных точках.
Чаще всего встречаются два типа условий:
– когда задается начальная последовательность x(1), x(2), ... , x(n);
– когда часть значений x(t) задается в начале, а часть – в конце
интервала решения.
Условия второго типа называются краевыми.
Пример 8. Требуется решить разностное уравнение
21
320
nnn
xxx123
для трех вариантов начальной последовательности: а) x
0
= 1, x
1
= 3;
б) x
1
= 1, x
2
= 3; в) x
1
= 2, x
2
= 0.
Решение. Составляем характеристическое уравнение и нахо!
дим его корни:
2
12
320, 1, 2.zz z z1 2 333
Общее решение имеет вид
12
2.
n
n
xcc1 2 3
Постоянные с
1
и с
2
находим из следующих начальных условий:
а) с
1
+ с
2
= 1, с
1
+ 2с
2
= 3, откуда с
1
= – 1, с
2
= 2, т. е. x
n
= 2
n+1
– 1;
б) с
1
+ 2с
2
= 1, с
1
+ 4с
2
= 3, откуда с
1
= – 1, с
2
= 1, т. е. x
n
= 2
n
– 1;
в) с
1
+ 2с
2
= 2, с
1
+ 4с
2
= 0, откуда с
1
= 4, с
2
= – 1, т. е. x
n
= 4 – 2
n
.
Пример 9. Найти решение уравнения из предыдущего примера,
если заданы краевые условия x
1
= 2, x
10
= 1024.
Полагая в формуле для общего решения n = 1 и n = 10, получаем
систему уравнений для определения c
1
и c
2
:
c
1
+ 2c
2
= 2, c
1
+ 2
10
c
2
= 1024,
откуда с
1
= 0, с
2
= 1.
Следовательно, искомое решение имеет вид: x(t) = 2
n
.
Пример 10. Выделить из общего решения (1.14) частное решение,
соответствующее последовательности Фибоначчи (1.9).
Общее решение: x
k
= c
1 1
k
z
+ c
2
2
k
z
. Начальные условия: x
0
= 1, x
1
= 1.
Cистема уравнений для определения с
1
и с
2
:
12
11 22
1,
1,
cc
cz cz
12
3
4
12
5
откуда
2
1
12
21
1
0,72,
10,28.
z
c
zz
cc
1
2 3
1
2 1 3
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
