Составители:
9
Известны два основных метода решения линейных разностных урав!
нений – с помощью характеристического полинома и с использованием
z!преобразования, аналогичного преобразованию Лапласа.
Рассмотрим первый из них. Будем искать решение в виде
()
t
xt z1
,
где z – некоторое число. Если t – дискретно, то x(t) – геометрическая
прогрессия, если же t – непрерывно, то x(t) – показательная функ!
ция. В обоих случаях ее можно записать в виде e
at
, где a = ln z.
Подставляя x(t) в (1.3) и сокращая на z
t
, получаем алгебраи!
ческое уравнение
1
10
... 0,
nn
n
zaz a1112
(1.11)
которое называется характеристическим (сравните с аналогичной
процедурой получения характеристического полинома для дифферен!
циального уравнения).
Вид решения разностных уравнений зависит от типа корней ха!
рактеристического полинома, которые могут быть вещественными,
комплексными, простыми и кратными.
Вещественные корни
Если уравнение (1.11) имеет вещественные и различные корни
z
1
, ..., z
n
, то получаем n линейно независимых частных решений урав!
нения (1.3):
11
() ,..., () .
tt
nn
xt z x t z11
Общее решение в соответствии с (1.10) имеет вид:
11
() ... .
tt
nn
xt cz cz122
(1.12)
(Сравните с аналогичной формулой решения дифференциальных
уравнений).
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Решим разностное уравнение
x(t + 2) – 5x(t + 1) + 6x(t) = 0.
Характеристическое уравнение имеет вид z
2
– 5z + 6 = 0.
Его корни вещественные и различные: z
1
= 3, z
2
= 2.
Общее решение: x(t) = c
1
3
t
+ c
2
2
t
.
Пример 2. Найдем общее решение уравнения электрической
цепи (1.7).
Составляем характеристическое уравнение:
z
2
– 3z + 1 = 0.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
