Составители:
83
5. НЕЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
5.1. Источники нелинейных разностных уравнений
Нелинейные разностные уравнения часто встречаются при ис!
следовании и моделировании различных прикладных задач в тех!
нике, экономике, социологии, демографии и других дисциплинах.
В математике нелинейные разностные уравнения появляются, в
частности, при анализе сходимости различных итерационных про!
цессов.
Отметим две формы записи нелинейных разностных уравнений: в
виде одного уравнения порядка k
F(x
n
+
k
, ..., x
n
) = 0 (5.1)
и в виде системы уравнений первого порядка (описание в простран!
стве состояний)
X
n
+
1
= Ф(X
n
), (5.2)
где
k
XR1
– вектор состояния; Ф – нелинейная векторная функция.
Общей теории исследования нелинейных разностных уравнений
нет. При их изучении стараются ответить на качественные вопросы,
такие как отыскание стационарных точек, анализ устойчивости, пе!
риодичности, наличия предельных циклов и аттракторов.
В последние десятилетия интересные результаты были достигну!
ты в ходе исследования очень простых математических моделей, опи!
сываемых разностными уравнениями первого порядка:
1
(,),
nn
xfxr1
1
,1,2,3,...,xan11 (5.3)
где r – некоторый параметр.
Уравнение (5.3) можно рассматривать как явную формулу, кото!
рая позволяет по числу x
n
находить следующее число x
n
+
1
и таким
образом определяет всю последовательность {x
n
}. Можно сказать, что
соотношение (5.3) соответствует некоторому итерационному процес!
су. Поэтому последовательность чисел {x
n
} часто называют итераци!
ями начальной точки
1
.xa1
Простейшие уравнения вида (5.3) были рассмотрены в разд. 1.
При
(, )
nn
fx r rx1
соотношение (5.3) определяет геометрическую про!
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- …
- следующая ›
- последняя »
