Составители:
85
модели достаточно выяснить, какой будет последовательность
{x
n
},
n 12
при различных значениях r.
Дискретизация дифференциальных уравнений
Простейшая модель изменения численности популяции, предло!
женная Мальтусом более 200 лет назад, описывается линейным диф!
ференциальным уравнением первого порядка
.xax1
1
В соответствии
с ней численность популяции должна неограниченно расти. Для того
чтобы учесть ограниченность ресурсов, доступных популяции, и внут!
ривидовой отбор, естественно ввести нелинейный ограничивающий
член. Это приводит к уравнению
(1 ).xax x1 2
1
Единицы измерения выбраны так, чтобы предельная численность
популяции равнялась 1. Если 0 < х(0) < 1, то х(t) ® 1 при t ® ¥. В
этом нетрудно убедиться, проводя качественное исследование этой
модели. Неподвижная точка х = 0 является неустойчивой, точка
х = 1 устойчивой.
Применим к этому уравнению метод Эйлера, заменив производ!
ную приращением функции
(( 1) ) ( ) ( )(1 ( )),x k h x kh ahx kh x kh1 2 3 2
где h – шаг дискретного времени.
Обозначая
() ,
k
xkh x1
получаем
2
1
,1,.
kkk
xxx ah ah1 234 2 15 41
Мы вновь получили одномерное разностное уравнение вида (5.4).
Анализ показывает, что его свойства похожи на свойства дифферен!
циального уравнения только при небольших h. Когда шаг по време!
ни h превышает некоторое критическое значение, поведение этих двух
объектов начинает качественно отличаться.
Решение нелинейных алгебраических уравнений
Стандартным методом численного решения нелинейных алгебра!
ических уравнений вида F(x) = 0 является метод простой итерации.
В соответствии с ним для нахождения корней исходное алгебраи!
ческое уравнение переписывается в виде x = f(x), и затем ему сопос!
тавляется разностное уравнение
x
n
+
1
= f(x
n
), n = 0, 1, 2, ... .
При определенных условиях решение этого уравнения образует пос!
ледовательности {x
n
}, сходящиеся к корню исходного уравнения. Со!
ответствующий итерационный процесс иллюстрируется рис. 5.1, а.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- …
- следующая ›
- последняя »
