Составители:
84
грессию со знаменателем r. При (, )
nn
fx r r x1 2 – арифметическую
прогрессию.
Однако если f(x, r) простейшая нелинейная функция аргумента х,
например, квадратичная парабола, то свойства последовательности
{x
n
} могут оказаться совершенно необычными.
Приведем, следуя книге [6], несколько типичных ситуаций, в ко!
торых уравнения вида (5.3) выступают как математические модели
либо возникают при численном решении уравнений.
Моделирование процессов с дискретным временем
Допустим, исследуется динамика численности популяции неко!
торых животных и существует возможность оценивать эту числен!
ность только раз в год. Тогда естественно временную переменную счи!
тать дискретной, которая может принимать только целые действи!
тельные значения п = 1, 2, ... . Численность популяции будет выра!
жаться функцией дискретного аргумента x(n) или, как ее часто обо!
значают, x
n
. Последовательность x
1
, x
2
, ... будем обозначать {x
n
}.
Можно считать, что x
n
– численность популяции в год с номером п.
Ясно, что численность популяции в данный год x
n
+
1
зависит от того,
сколько животных было год назад, т. е. от величины x
n
. В простейшем
случае, когда величина x
n
+
1
зависит только от численности в предыду!
щий год, мы приходим к математической модели вида (5.3). В этой мо!
дели f – непрерывная однозначная функция своих аргументов, r – пара!
метр, который зависит от того, какую конкретную задачу мы рассмат!
риваем, а – начальное значение, первый член в последовательности {x
n
}.
Часто используется функция f вида rx(N–х):
x
n
+
1
= rx
n
(N–х
n
), 0.
n
xN11 (5.4)
Формула (5.4) показывает, что если rN > 1, то численность вида
растет, пока она мала
.
n
xN11
В силу ограниченности ресурсов числен!
ность животных начинает убывать, когда животных становится слиш!
ком много. Это учитывается с помощью ограничивающего квадра!
тичного члена. Удобно сделать замену переменных ,
nn
xyN1
/.rqN1
При этом формула (5.4) приобретает вид
y
n
+
1
= qy
n
(N–y
n
),
0.
n
yN11
(5.5)
Отображения (5.4) и (5.5) часто называют логистическим отобра!
жением.
Нас интересует вопрос о том, что произойдет с различными вида!
ми по прошествии достаточно долгого времени, т. е. каковы аттрак!
торы изучаемого отображения. Для ответа на него в этой простейшей
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- …
- следующая ›
- последняя »
