Составители:
95
Видно, что мы имеем дело с монотонно убывающей последователь!
ностью, более того, можно показать, что она стремится к нулю. Од!
нако, производя вычисления с двойной точностью в пакете MATLAB,
при n = 20 получаем отрицательное число, хотя в самом деле все чле!
ны исходной последовательности строго положительны.
Попытка проверить качество вычислений путем подстановки вы!
численных членов последовательности в формулу (5.8) только вво!
дит в заблуждение: равенство будет выполнено с высокой степенью
точности при всех n, в том числе и при n = 20. Таким образом “очевид!
ный” алгоритм оказывается практически неработоспособным. Это
лишний раз говорит о необходимости критически относиться к ре!
зультатам компьютерных вычислений. Более подробный разбор это!
го примера содержится в учебном пособии [10].
5.3. Анализ стационарных точек и точек бифуркации
В тех случаях, когда нелинейные разностные уравнения не имеют
аналитического решения, наряду с численными методами применя!
ют методы качественного анализа. Один из важных вопросов, с кото!
рого обычно начинают исследование разностных уравнений (5.2) или
(5.3) – это анализ стационарных точек. Так называются точки, удов!
летворяющие уравнению X = Ф(X) в первом случае и (, )xfxr1 – во
втором. Они характеризуют положения равновесия системы, когда
ее следующее состояние совпадает с предыдущим. Отметим, что ста!
ционарные точки разностного уравнения совпадают с так называе!
мыми неподвижными точками отображений Ф(X) и
()fx
.
Различают два типа стационарных точек: притягивающие (устой!
чивые) и отталкивающие (неустойчивые). Поясним их смысл на при!
мере поиска корней нелинейного алгебраического уравнения мето!
дом простых итераций. Как уже отмечалось, в соответствии с этим ме!
тодом для численного нахождения корней исходное алгебраическое
уравнение F(x) = 0 переписывается в виде x = f(x), и затем ему сопос!
тавляется разностное уравнение x
n
+
1
= f(x
n
), n = 0, 1, 2, ... . Тогда
корни функции F – это неподвижные точки функции f.
Пример 6. Рассмотрим кубическое уравнение
2(х – 1)
2
х – х
2
= 0.
Оно имеет три вещественных корня 0, 1/2, 2.
Для отыскания корней перепишем уравнение в виде
2
2
2( 1)
x
x
x
1
2
и
организуем простые итерации по формуле
2
1
2
2( 1)
n
n
n
x
x
x
1
2
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- …
- следующая ›
- последняя »
