Моделирование разностных уравнений. Мироновский Л.А. - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

97
дополнительного исследования (анализа производных высших по!
рядков).
Применим этот критерий к рассмотренному примеру 6. В этом при!
мере функция f(x) и ее производная имеют вид:
2
3
() , () .
2( 1)
(1)
xx
fx f x
x
x
1
2
33
1
1
Вычисляя значение производной в стационарных точках х = 0;
0,5; 2, получаем:
(0) 0, (0,5) 4, (2) 2.ff f
11 1
22323
В соответствии с критерием заключаем, что стационарная точка
х
1
=
0 – устойчива, а точки х
2
=
0,5; х
3
=
2 – неустойчивы.
Наряду с исследованием стационарных точек нелинейных систем
важное значение имеет анализ точек бифуркации. Так называют зна!
чения параметров системы, при которых происходит качественное
изменение ее поведения, например, потеря устойчивости, возникно!
вение колебательного режима, появление предельного цикла и т. д.
Знание стационарных точек и точек бифуркации несет большую
информацию о системе и возможных типах ее поведения, что позво!
ляет в ряде случаев избежать трудоемкой процедуры нахождения
численного решения нелинейных уравнений.
Обратимся к разностному уравнению (5.3). В данном случае точ!
ками бифуркации являются критические значения параметра r, при
которых будут появляться (или исчезать) стационарные точки сис!
темы, либо меняться тип их устойчивости. Проиллюстрируем мето!
дику их отыскания на примере анализа логистического отображения
(5.4).
Пример 7 [Динамика популяции (логистическое отображение)].
Рассмотрим один вид животных или насекомых, живущий на ог!
раниченном пространстве. Обозначим через х текущую нормирован!
ную численность популяции, тогда в соответствии с классической
математической моделью ее динамика будет описываться разностным
уравнением (5.5):
x
n
+
1
= rx
n
(1–x
n
).
Оно означает, что численность популяции в n+1!м году пропорци!
ональна численности популяции в n!м году и свободной части жиз!
ненного пространства (1–x
n
), значение x
n
изменяется от 0 до 1. По!
ложительный коэффициент r зависит от плодовитости популяции,
условий питания и реальной площади.

Страницы