Составители:
98
Найдем стационарные точки этой модели, рассмотрев алгебраи!
ческое уравнение x = rx(1–x). У него есть очевидный корень x
1
= 0.
Если численность популяции в начальный момент равна 0, то и она
будет равняться 0 и далее. Второй корень равен
2
1
1x
r
1 2
. Таким об!
разом, x
1
и x
2
– стационарные точки данной задачи. Проанализируем
их устойчивость и найдем точки бифуркации (критические значения
параметра r). Это позволит ответить на вопрос, как будет себя вести
популяция при разных значениях r.
Рассмотрим отдельно случаи 0 < r < 1, 1 < r < 3, 3 < r < 4, полагая
везде, что
01.x11
Случай 1 (0 < r < 1). В этом случае имеется одна стационарная
точка х
1
= 0 (корень х
2
отрицателен). Чтобы проанализировать ее
устойчивость, нарисуем кривую ()yfx1 , где f(x) = rx(1–х) и прямую
y = x (рис. 5.5). Отложим х
1
по оси абсцисс, проведем вертикаль до
пересечения с кривой
()yfx1
(точка А), затем из нее горизонталь до
пересечения с осью х. Полученную точку пересечения обозначим че!
рез х
2
. Легко проверить, что
21
().xfx1 Взяв точку х
2
за начальную и
повторив все те же операции, получим х
3
, затем х
4
и т. д. Эта проце!
дура называется построением лестницы Ламерея. Она позволяет гра!
фически строить члены последовательности {x
n
}.
0,2 0,6
1
x
y
A
B
C
r = 1
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
Рис. 5.5
В данном случае эта последовательность стремится к нулю (спуск
по лестнице Ламерея приводит в начало координат), таким образом,
стационарная точка x
1
= 0 – устойчивая. К этому же выводу прихо!
дим, вычисляя производную
() 2 .fx r rx
1
2 3
Поскольку
1
() 1,fx r
1
2 3
то
условие устойчивости выполняется.
Случай 2 (1 < r < 3). Как только коэффициент r становится
больше единицы, стационарная точка x
1
= 0 теряет устойчивость,
так как
1
()1.fx
1
2
Одновременно появляется вторая стационарная
точка
2
1
1.x
r
1 2
Вычисляя для нее
(),fx
1
получаем
2
()2 .fx r
1
2 3
Гра!
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- …
- следующая ›
- последняя »
