Составители:
96
Это разностное уравнение первого порядка. Для определения его
стационарных точек (неподвижных точек функции f) построим гра!
фик в плоскости (y, х), где
2
2
2( 1)
x
y
x
1
2
(рис. 5.4).
–1
0 1 2 3 4 5
0,5
1
1,5
2
2,5
x
y
Рис.5.4
Он пересекается с биссектрисой y = х в трех точках (0,0), (1/2, 1/2),
(2,2). Анализ итерационного процесса показывает, что первая из них –
притягивающая, две другие – отталкивающие.
Если, например, взять начальное значение х
0
= –1, то вычисляя сле!
дующие значения х
i
по формуле (5.3), получим х
1
= 1/8, х
2
= 1/98, ...,
т. е. процесс быстро сходится к стационарной точке (0, 0).
Если же взять начальное значение вблизи точки 2, например, х
0
=
=1,9, то последующие значения будут удаляться от нее: х
1
= 1,82,
х
2
= 2,46, ..., т. е. эта стационарная точка – неустойчивая (отталки!
вающая). На рис. 5.4 соответствующий итерационный процесс по!
казан раскручивающейся прямоугольной спиралью.
Аналогично устанавливается неустойчивость стационарной точ!
ки (0,5; 0,5). Заметим, что область сходимости к точке 0 – полу!
ось
1/2.x123 3
Следовательно, описанный вариант метода простой
итерации позволит найти только один из трех корней.
Приведем общее правило (критерий), позволяющее определять
устойчивость стационарных точек разностного уравнения (5.3). Оно
опирается на вычисление значения производной функции f(x, r) в
стационарной точке и состоит в следующем.
Критерий устойчивости стационарной точки. Пусть х
i
– стаци!
онарная точка уравнения x
n
+
1
= f(x
n
). Если
12
1,
i
fx
3
4
то эта точка –
устойчивая (притягивающая), если же
12
1,
i
fx
3
4
то стационарная
точка x
i
– неустойчивая (отталкивающая). Случай, когда модуль
производной функции f(x) в стационарной точке равен нулю, требует
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- …
- следующая ›
- последняя »
