Составители:
99
фик зависимости
()fx
1
от r приведен на рис. 5.6. Область устойчиво!
сти
2
()1fx
1
2
на нем выделена штриховкой. Поскольку при 1 < r < 3
модуль производной меньше единицы, то на указанном интервале
стационарная точка х
2
– устойчивая. Критическое значение r
1
= 1,
при котором появляется стационарная точка
2
x
и меняется тип ус!
тойчивости стационарной точки x
1
, представляет собой первую точ!
ку бифуркации.
Построив лестницу Ламерея в этом случае (рис. 5.7), мы обнару!
живаем, что движение по ней идет теперь в направлении точки
2
x . В
применении к исходной биологической задаче это означает, что чис!
ленность популяции по прошествии нескольких лет стабилизирует!
ся и перестанет меняться со временем.
–1
1
2
12
3
r
)(
2
xf
x
0 0,2 0,6
1
f
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
x
2
Рис. 5.6 Рис. 5.7
По мере приближения ступенек лестницы Ламерея к точке
2
x гори!
зонтальные размеры ступенек стремятся к геометрической прогрессии
2
1
1
lim ( ) .
nn
xx
n
nn
xx
cfx
xx
1
2
33
1
Отсюда, кстати, вытекает обоснование приведенного выше крите!
рия устойчивости стационарных точек. Отметим, что все стационар!
ные точки лежат на пересечении графика функции
()fx
с биссектри!
сой первого квадранта (рис. 5.7).
Случай 3 (3 < r < 4). Как только r превышает значение 3, ста!
ционарная точка
2
x теряет устойчивость, т. е. значения r
2
= 3 – это
вторая точка бифуркации. В поведении системы происходят каче!
ственные изменения – в ней возникают устойчивые колебания. Их
период сначала равен двум, затем, по мере увеличения параметра r,
он удваивается и т. д. Значения r
i
, при которых происходят эти удво!
ения периода, являются точками бифуркации. По мере приближе!
ния r к критическому значению (оно примерно равно 3,5699) число
бифуркаций удвоения периода стремится к бесконечности, а при дос!
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- …
- следующая ›
- последняя »
