Численные методы. Мирошниченко Г.П - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

27
Итак, компоненты Фурье
m
F
Ω
удобно нумеровать числами в двоичной
системе, записанными в основной форме, а компоненты вектора
n
F
удобно
нумеровать числами, записанными в транспонированной двоичной форме.
Надо научиться каждому целому числу, имеющему порядок
r в двоичной
системе, сопоставлять его транспонированную форму, так, чтобы, задавая
двоичный вектор
(
)
12
,....
r
nn n , получать транспонированное целое число n .
Для этого для каждого числа 02
r
nM
≤
≤ = получим соответствующую
двоичную форму, записав двоичный вектор в n - ый столбик матрицы nb
(4.12)
()
()
(
)
2
,
:0.. 1 :0.. 1
11
:
2
s
floor n
sn
s
rnM
nb
−
⋅
=
−=−
−−
=
.
Затем по числу n получим его транспонированный вариант
n
nt
(4.13)
1
1
,
0
:2
r
rs
nsn
s
nt nb
−
−−
=
=⋅
∑
.
Например, для числа 7n = при 5r = получаем двоичный вектор
(
)
7
1,1,1, 0, 0nb = . Тогда по формуле (4.13) транспонированное число
7
28nt = . Обозначим выражение в фигурных скобках в (4.11) через
m
G
1
11
21
1
1
12
0
11
12 1
21
2
2...2
00
1 2 ... 2
exp 2 ...
22
121
exp 2 exp 2
222 2
r
r
rr
r
r
mr
r
n
nn n
nn
mm m
Gi n
mm m
inF in
π
ππ
−
−
−
=
+⋅ + + ⋅
==
⎛⎞
+++
−××
⎜⎟
⎝⎠
+
⎛⎞ ⎛⎞
×− ⋅ ⋅−
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
∑
∑∑
=
. (4.14)
В этой формуле имеется
r промежуточных суммирований, для
выполнения которых можно предложить следующее рекуррентное
соотношение, позволяющее переходить от
s
- ого промежуточного
суммирования к 1
s
- ому (0 1
s
r
≤
≤−)
(
)
()
()
12 1 1 2
1
1
12 1 1 1 2
0
, ... ; ; , ...
1
,.. ;; .. exp 2 2 ..2
22
s
ssss r
s
s
sss r s
s
n
Qmm m m n n n
n
Qmm m n n n i m m m
π
−++
−
−+
=
⎛⎞
⋅− +++
⎜⎟
⎝⎠
∑
=
=
.(4.15)
Здесь
M
- мерный вектор Q , компоненты которого нумеруются
индексами
(
)
12 1 1
, ... ; ; ...
s
ss r
mm m nn n
−+
, где 1
s
r
≤
≤ , равен вектору
F
при 1
s
=
и равен вектору G при
s
r=
(
)
()
12
12
, ... ,
,...
rm
rn
Qmm m G
Qnn n F
=
=
.
Некоторое неудобство для программирования рекуррентного соотношения
(4.15) представляет то обстоятельство, что в этом выражении используется
смешанная система нумерации компонент вектора
Q . Индексы

Страницы