Численные методы. Мирошниченко Г.П - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

43
6.2. Интегральная теорема Стокса
Обобщением формулы Грина-Римана на трехмерный случай является
формула Стокса. Математическая теорема Стокса широко применяется
физике и технике для изучения свойств силовых полей. Рассмотрим
замкнутый контур
L
в трехмерном пространстве. Пусть в каждой точке
контура на пробное тело действует сила
(
)
F,,
x
yz . Выделим
ориентированный вдоль вектора касательной элемент контура
()
,,dxyzτ ,
расположенный в точке
(
)
r,,
x
yz на контуре. Медленно сместим пробное
тело вдоль элемента
(
)
,,dxyzτ . Предположим, что сила достаточно гладко
зависит от координат, а элемент контура достаточно мал, так, что можно
полагать, что сила постоянна во всех точках элемента. Тогда элемент
работы, совершенной полем над пробным телом
()
,,dA x y z
рассчитывается по формуле
(
)
(
)
(
)
(
)
,, F ,, , ,,dA x y z x y z d x y zτ= .
Разобьем замкнутый контур
L
на элементы, найдем работу на каждом
смещении, просуммируем вдоль контура, получим работу над пробным
телом, которое совершило обход по замкнутому контуру. Очевидно,
величина работы (циркуляции по замкнутому контуру) выражается
криволинейным интегралом
(
)
(
)
(
)
F,,, ,,
L
A
xyz d xyzτ
∫
= . (6.3)
Интерес представляют силовые поля, для которых интеграл
(6.3) не равен
нулю, так как в этом случае возможен циклический двигатель,
использующий энергию поля. В поле, для которого существует
потенциальная энергия
(
)
,,Uxyz, силовое поле записывается в виде
(
)
(
)
(
)
F,, grad ,,
x
yz U xyz= . (6.4)
В этом случае интеграл по контуру между двумя точками не зависит от
контура, и, следовательно, работа по замкнутому контуру равна 0.
Поэтому ожидать ненулевого значения для
A
можно только для вихревых
полей, то есть для полей, не выражаемых в виде
(6.4) . Вихревые поля, в
отличие от потенциальных, имеют не нулевой вектор ротора
(
)
(
)
rot F , , 0xyz ≠ . Как известно, если в данной точке
(
)
r,,
x
yz на
бесконечно малом ориентированном по нормали
(
)
n,,
x
yz элементе
поверхности
(
)
,,dxyzΣ ротор силового поля не равен нулю, то работа при
обходе элемента поверхности в положительном направлении (нормаль от
ног к голове, поверхность остается слева) равна
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,, rotF ,, , ,,dA x y z x y z d x y zΣ= . Разобьем поверхность
Σ
,
границей которой является контур
L
из (6.3), на элементы
(
)
,,dxyzΣ ,

Страницы