Численные методы. Мирошниченко Г.П - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

96
конечная сумма от небольшого полинома целочисленного аргумента
вычисляется также просто. Легко вычисляются также конечные суммы от
линейной комбинации факториальных полиномов отрицательной степени.
Для таких расчетов следует использовать формулы
(11.14), (11.16). Можно
найти разностные первообразные и для более сложных функций.
Например, для показательной функции
(
)
1
xx
aaaΔ⋅−= .
С помощью этой формулы суммируем прогрессию
1
11
1
11
kn
nn
k
kk
aa
a
aa
+
==
Δ−
−−
∑∑
==.
Для тригонометрических функций справедливы соотношения
()
(
)
(
)
()
()
()
()
()
sin 0.5
cos ,
2sin0.5
cos 0.5
sin .
2sin0.5
ax
ax
a
ax
ax
a
Δ⋅−
⋅
⋅⋅
Δ⋅−
⋅
⋅⋅
=
=
С помощью этих соотношений находим конечные суммы
()
(
)
(
)
()
()
() ( )
()
()
0
0
sin 0.5
cos 0.5,
2sin0.5
cos 0.5 cos 0.5
sin .
2sin0.5
n
k
n
k
an
ak
a
aan
ak
a
=
=
⋅+
⋅−
⋅⋅
⋅− ⋅+
⋅
⋅⋅
∑
∑
=
=
Конечные суммы можно вычислять с помощью формулы суммирования
по частям, которая напоминает известную формулу интегрирования по
частям. Для ее вывода используем формулу
(11.1) взятия конечной
разности от произведения. Для функций целочисленного аргумента эта
формула приобретает вид
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1uk vk uk vk vk ukΔ ⋅ ⋅Δ + + ⋅Δ= .
Возьмем частичную сумму от обеих частей, используем (11.21), получим
искомую формулу
() () ( ) ( ) () () ( ) ()
1 1
1111 1
n n
k k
uk vk un vn u v vk uk
= =
⋅Δ + ⋅ + − ⋅ − + ⋅Δ
∑∑
= . (11.23)
Проиллюстрируем применение этой формулы на примере показательной
функции. Так как
(
)
1
kk
aaaΔ−= , то получаем
()
11 1
1
11 1
22
2
11
111
.
1
1
n
nn n
kk k
kk k
nn
na a
ka k a a
aaa
na a a a
a
a
−− −
+
== =
+
⋅−
⋅⋅⋅Δ −⋅Δ
−−−
⋅− −
−
−
−
∑∑ ∑
== =
=

Страницы