Составители:
94
()
()
1
,
,
mx
mx m h
ϕ
ϕ
−
+⋅
=
. (11.12)
Формула (11.12) обобщает факториальный полином на случай целых
отрицательных степеней 0m
< .
Положим шаг сетки равным единице 1h
=
. Тогда факториальный
полином запишется так
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
()
,1 1 2... 1,
0, 1.
nx x x x x n
x
ϕ
ϕ
⋅⋅ − ⋅ − ⋅⋅ − −=
=
(11.13)
Факториальный полином от отрицательной степени
()
()
1
,
,
mx
mx m
ϕ
ϕ
−
+
= . (11.14)
Правило исчисления первой конечной разности
(
)
(
)
,1,nx n n x
Δϕ ϕ
⋅−= . (11.15)
Используем правило взятия первой конечной разности от частного (11.2) и
возьмем конечную разность от
(11.12). Получаем естественное
соотношение
(
)
(
)
,1,nx n n x
Δϕ ϕ
−−⋅−−= . (11.16)
Факториальный полином степени n (11.13) это полином степени n ,
имеющий n целочисленных корней 0,1... 1n
−
и целочисленные
коэффициенты, которые называются числами Стирлинга первого рода
,nk
S
() ()
,
0
,,0,1
n
k
nk
k
nx S x x
ϕϕ
=
⋅
=
∑
= . (11.17)
Числа
,nk
S связаны рекуррентным соотношением
1, , 1 ,
0,0 ,0 ,
,
1, 2..., 1, 0, 1.
nk nk nk
nnn
SSnS
nk S S S
+−
−⋅
≥
=
====
(11.18)
Это соотношение можно получить с помощью очевидного тождества
(
)
(
)
(
)
1, ,nx xn nx
ϕ
ϕ
+−⋅= .
Числа Стирлинга второго рода
,nk
Q
являются коэффициентами в
разложении степенной функции
n
x
по факториальным многочленам
(
)
,nx
ϕ
()
,
0
,
n
n
nk
k
x
Qkx
ϕ
=
⋅
∑
= . (11.19)
Числа
,nk
Q
связаны рекуррентным соотношением
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- …
- следующая ›
- последняя »
