Составители:
93
Для конечных разностей существуют функции с похожим свойством. Это
так называемые факториальные полиномы. Определим факториальный
полином степени n
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
()
,1 2... 1,
0, 1.
nx x x h x h x n h
x
ϕ
ϕ
⋅⋅ − ⋅ −⋅ ⋅⋅ − − ⋅=
=
(11.9)
Запрограммируем
() ( )
1
0
10
,: 0
n
p
sifn
nx s x p h ifn
s
ϕ
−
=
←=
=
←−⋅ ≠
∏
.
Свойство этих полиномов для конечной разности аналогично (11.8)
(
)
(
)
,1,nx n h n x
Δϕ ϕ
⋅⋅ −= . (11.10)
По аналогии с (11.7) для функции
(
)
f
x найдем аппроксимирующий
полином
(
)
,PF n x , для которого конечные разности до n - ой
включительно в точке 0
x
= совпадают с соответствующими разностями
для аппроксимируемой функции
(
)
f
x . Этот полином имеет вид
(11.11)
()
()
0
1
:,
!
,:
p
p
n
p
p
p
af p x
ph
PF n x af x
Δ
=
=⋅
⋅
=⋅
∑
.
Графически можно сравнить качество аппроксимации функции
(
)
f
x в
некоторой окрестности точки 0
x
= полиномами
(
)
,Pnx (11.7) и
(
)
,PF n x
(11.11).
11.3. Исчисление конечных сумм
Доопределим факториальный полином (11.9) и формулу (11.10) на
случай отрицательных целых степеней 0n
<
. Очевидно следующее
равенство
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,1 ...1nmxmh xmh xmhh x n h
ϕ
−−⋅ ⋅−⋅⋅−⋅−⋅⋅−−⋅= .
Из этого соотношения следует тождество
(
)
(
)
(
)
,, ,nx mx n mx m h
ϕ
ϕϕ
⋅
−−⋅= .
Это тождество справедливо при всех n , в частности, при 0n = получаем
(
)
(
)
(
)
0, 1 , ,
x
mx mx m h
ϕ
ϕϕ
⋅− −⋅== .
Это соотношение можно переписать в следующем виде
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- …
- следующая ›
- последняя »
