Составители:
91
и введено удобное обозначение n
−
ой конечной разности
(
)
(
)
(
)
,
n
f
xnx
Δ
≡Δ .
Графически нетрудно убедиться в справедливости предельного перехода
(
)
()
0
,
lim
n
nn
h
nx
d
f
x
hdx
Δ
→
= .
Для произвольного многочлена
(
)
n
Px степени n справедливо равенство
(
)
(
)
0
n+1
n
Px
Δ
= .
Отсюда следует важное свойство конечных разностей: если функция
достаточно гладкая и на данном интервале хорошо аппроксимируется
полиномом степени n , то, начиная с некоторого места, ее конечные
разности будут малы.
Однако значения функции, вычисленные с
плавающей запятой, всегда содержат некоторую ошибку (по крайней мере,
ошибку округления). Если ошибка имеет систематический характер, то ее
вклад в разностях может в среднем уничтожаться. Если ошибка случайна,
носит характер “шума”, то она может “разрастаться” с увеличением
номера разности. Изучим закономерности этого “разрастания”. Для этого
предположим
, что в каждом узле сетки значение функции возмущено
гауссовским “белым” шумом с нулевым средним и стандартным
отклонением
σ
. Введем максимальный номер N конечной разности
:N
=
♦ ,
сгенерируем
M
реализаций гауссовского “белого” шума
::
M
σ
=♦ =♦,
()
:0..
: rnorm N +1,0,
m
mM
ε
σ
=
=
.
Здесь все реализации “шума” записаны в столбики матрицы
ε
размерности 11NM+⊗ +. Так как операция
(
)
(
)
n
f
x
Δ
линейна, то для
изучения закона зависимости стандартного отклонения n - ой конечной
разности от ее номера n достаточно подействовать этой разностью на
“шум”. Величину n - ой конечной разности на реализации “шума”
δ
вычислим по формуле
(11.4)
() () ()
0
,: 1 combin
n
nk
k
k
nn,k
Δ
δδ δ
−
=
=
−⋅ ⋅
∑
.
Так как математическое ожидание гауссовского “шума” на каждом узле
равно нулю, то математическое ожидание конечной разности также равно
нулю (в силу линейности). Выборочное стандартное отклонение
(
)
s
n
σ
“зашумленной” n - ой конечной разности найдем с помощью
математической статистики
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- …
- следующая ›
- последняя »
