Составители:
92
(11.5)
()
()
2
0
,
:
1
M
m
m
n
sn
M
Δδ ε
σ
=
=
+
∑
.
Можно найти теоретическую формулу для зависимости стандартного
отклонения
(
)
tn
σ
n - ой конечной разности от номера. Для этого
возведем
(
)
,n
Δδ δ
(11.4) в квадрат, и, воспользовавшись статистической
независимостью “шума”
δ
на разных узлах, получим
(11.6)
(
)()
: combin 2tn n,n
σσ
=⋅ .
Таким образом, “шум” в n - ой конечной разности увеличивается в
()
combin 2n, n раз. Правильность полученной формулы можно проверить
численно. Можно убедиться, что если “зашумляется” третий десятичный
знак изучаемой функции (0.001
σ
= ), то четвертые разности оказываются
минимальными по величине. То есть функция хорошо аппроксимируется
полиномом третьего порядка. Более высокие разности определяются в
основном “шумом”. Если уровень шума исходных данных
σ
неизвестен,
то его можно оценить с помощью формул
(11.5), (11.6).
11.2. Аппроксимация функций с помощью конечных разностей
Конечные разности находят свое применение в задачах аппроксимации
функций. Как известно, заданную достаточно гладкую функцию
(
)
f
x в
некоторой окрестности точки, например 0
x
=
, можно с заданной
точностью аппроксимировать отрезком ряда Тейлора – полиномом
(
)
,Pnx
степени n . Коэффициенты подбираются так, чтобы полином и функция
были бы близки. Под близостью полинома и функции будем понимать
совпадение в точке 0
x
= всех их производных до n - ой включительно.
Как известно, тогда коэффициенты полинома определяются по формуле
Тейлора
(11.7)
()
()
0
::0
:0..
1
:
!
,
p
p
p
n
p
p
p
nx
pn
d
afx
pdx
Pnx a x
=
=♦ =
=
=⋅
=⋅
∑
.
Вывод этой формулы существенно опирается на свойство
дифференцирования степенной функции
1nn
d
x
nx
dx
−
⋅= . (11.8)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- …
- следующая ›
- последняя »
