Составители:
90
11. Конечные разности
11.1. Свойства конечных разностей
Конечной разностью первого порядка для функции
(
)
f
x называют
функцию
(
)
f
x
Δ
, зависящую от точки, где разность вычисляется, и от
шага сетки
h [1], [15]
(
)
(
)
(
)
f
xfxhfx
Δ
+−= .
Конечная разность n − ого порядка определяется естественным образом
()
()
()
()
(
)
()
() ()
0
,
.
nn-1
f
xfx
fx fx
ΔΔΔ
Δ
=
=
Математические свойства конечных разностей во многом похожи на
свойства производных функции
(
)
f
x . Приведем некоторые из них:
1.
(
)
0ccconst
Δ
−=
2.
линейность операции конечной разности
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
f
xgx fx gx
Δα β α Δ β Δ
⋅+⋅ ⋅ +⋅=
3. конечная разность произведения
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) () () ()
ux vx vx h ux ux vx
ux h vx vx ux
ΔΔΔ
ΔΔ
⋅+⋅+⋅
+⋅ + ⋅
==
=
(11.1)
4. конечная разность частного
(
)
()
(
)
(
)
(
)
(
)
() ( )
ux vx ux ux vx
vx vx vx h
ΔΔ
Δ
⎛⎞
⋅−⋅
⎜⎟
⋅+
⎝⎠
= . (11.2)
Зададим изучаемую функцию
(
)
f
x и шаг сетки h
()
:
:
h
fx
=♦
=
♦
.
Можно показать, что n −ая конечная разность функции
(
)
f
x вычисляется
по формуле
(11.3)
() () ()( )
0
, : 1 combin
n
nk
k
nx n,k f x k h
Δ
−
=
=
−⋅ ⋅+⋅
∑
.
Здесь введено обозначение программы счета биномиальных
коэффициентов
()
()
!
combin
!!
n
n,k
knk⋅−
=
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- …
- следующая ›
- последняя »
