Численные методы. Мирошниченко Г.П - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

95
1, , 1 ,
,,
,
1,2..., 1, 0.
nk nk nk
kk nn k
QQkQ
nk S S
+−
+
+⋅
≥
=
===
(11.20)
Это соотношение можно получить с помощью очевидного тождества
1nn
x
xx
+
⋅= .
Часто необходимо конечную сумму первых n элементов некоторой
последовательности выразить в виде явной функции от n . Приемы
исчисления таких конечных сумм основаны на следующем свойстве
конечной разности
() () ()
()
()()
()
()()
1
2 1 ... 1 1 1
n
k
Pk P P Pn Pn Pn P
=
Δ−+++−=+−
∑
= . (11.21)
Из (11.21) следует, что для того, чтобы найти конечную сумму от
последовательности
(
)
p
k , достаточно найти для
(
)
p
k ее разностную
первообразную
(
)
Pk , то есть представить
(
)
p
k в виде конечной разности
(
)
(
)
p
kPkΔ= .
Тогда
() () ( ) ()
11
11
nn
kk
p
kPkPnP
==
Δ=+−
∑∑
= .
Разностная первообразная известна для факториальных полиномов (11.15),
(11.16). Используя свойство линейности, получим первообразную для
линейной комбинации факториальных полиномов
() ( )
()
()
() ()
0
0
,,
1,
,
1
.
q
m
m
q
m
m
pk C mk
mk
Pk C
m
Pk pk
ϕ
ϕ
=
=
⋅
+
⋅
+
Δ
∑
∑
=
=
=
(11.22)
Например
() ( ) ()
(
)
(
)
() ( )
()
() ()
111 1
1
2, 1
1, , ,
22
2,
1,
2
11
.
22
nnn n
kkk k
n
k
kkk
pk k k Pk
k
pk k k
kk nn
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=== =
=
−
Δ
⋅− ⋅+
Δ
∑∑∑ ∑
∑
== = =
== = =
==
Итак, конечная сумма от линейной комбинации факториальных
полиномов целочисленного аргумента (из небольшого числа слагаемых)
легко вычисляется. Так как степенная функция с помощью формулы
(11.19) переписывается через комбинацию факториальных полиномов, то

Страницы