Составители:
Рубрика:
13
Функция P
n
(x) такова, что ее значения во всех точках x
i
совпадают со
значениями y
i
. Или, другими словами, график функции P
n
(x) проходит через все
исходные точки (х
i
, y
i
) – так называемые "узлы аппроксимации".
Исходя из ряда практических соображений [2], целесообразно ограничить
степень многочлена P
n
(x), приняв, например, n =2:
() ()
()()
()()
(
)
(
)
()()
(
)( )
()()
2313
21
3
3212
31
2
3121
32
12
xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx
yxPxy
а
−−
−−
+
−−
−
−
+
−−
−
−
==
. (3)
В этом случае график функции P
n
(x) пройдет только через три из пяти
точек, заданных в табл.2.
При проведении аппроксимации методом Лагранжа студенту
необходимо:
• Разумно выбрать три узла аппроксимации x
k
, k = 1,2,3 из пяти
возможных узлов x
i
, i = 1…5 (i не обязательно равно k) и провести вычисления
по формуле (3). В результате получится многочлен второй степени в виде
()
01
2
2
axaxaxy
а
++=
, (4)
где a
2
, a
1
, a
0
- коэффициенты многочлена, определенные в результате расчетов
по формуле (3).
• Построить график функции y
a
(x) – параболу, которая должна
обязательно пройти через три выбранных узла аппроксимации. Две неучтенные
при аппроксимации исходные точки не окажутся в общем случае на линии
параболы.
• Для оценки качества аппроксимации вычислить среднеквадратическое
отклонение
σ
значений аппроксимирующей функции y
ai
от измеренных
значений y
i
()
()
∑∑
=
=
=
=
−−−=−==
5
1
2
01
2
2
5
1
2
где,
5
i
i
iii
i
i
iаi
axaxayyyV
V
σ
(5)
В (5) три слагаемых из пяти должны быть равны нулю!
