Дифференциальное исчисление функции действительных переменных. Митрохин Ю.С - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

7.5. Логарифмическое дифференцирование
Дифференцирование многих функций значительно упрощается, если их
предварительно прологарифмировать.
Пусть требуется вычислить производную от функции
(
)
xfy = и пусть
(
)
0xf > для всех
X
x
∈
. Под логарифмическим дифференцированием
понимают следующее:
1) логарифмируем функцию
(
)
xfy = :
(
)
xflnyln = ;
2) дифференцируем полученное равенство по x:
( ) ()( )
x
x
y
xflnylny
′
=
′
′
;
3) заменяем y ее выражением через x и из последнего равенства находим
x
y
′
.
Логарифмическое дифференцирование полезно применять, когда
заданная функция содержит логарифмирующиеся операции (умножение,
деление, возведение в степень, извлечение корня), и, в частности, для
нахождения производной от показательно- степенной функции
v
uy = , где u
и v – функции переменной x.
Найти производные следующих функций:
7.41.
(
)
tgx
sinxy = .
Имеем xsinlntgxyln
=
, откуда
xsinlnxsec1xsinlnxsecxcos
xsin
1
tgx
y
y
22
⋅+=⋅+⋅⋅=
′
,
(
)
(
)
(
)
xsinlnxsec1xsinxsinlnxsec1yy
2
tgx
2
+=+=
′
.
7.42.
2
x1
x2
y
−
= .
Логарифмируя и применяя свойства логарифма, получаем:

Страницы