ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
(
)
(
)
xy
yx,f
yx
yx,f
22
∂∂
∂
=
∂∂
∂
– смешанные производные второго порядка
функции
(
)
yx,f .
Последнее равенство имеет место в случае непрерывности
(
)
yx
yx,f
2
∂∂
∂
и
(
)
xy
yx,f
2
∂∂
∂
.
Пример 8.22. Найти все частные производные второго порядка функции
(
)
xylnxz
y
+= .
Решение. Вначале найдем частные производные по x и y данной
функции:
xy
y
yx
x
z
1y
+=
∂
∂
−
,
xy
x
xlnx
y
z
y
+=
∂
∂
.
Далее найдем все частные производные второго порядка функции:
( )
−−=
∂
∂
−
2
2y
2
2
x
1
x1yy
x
z
,
2
2y
2
2
y
1
xlnx
y
z
−=
∂
∂
,
xlnyxx
yx
z
1y1y
2
−−
+=
∂∂
∂
,
1y1y
2
xxlnyx
xy
z
−−
+=
∂∂
∂
.
Определение 8.8. Дифференциалом второго порядка от функции
(
)
y,xf называется дифференциал от дифференциала первого порядка. Итак,
по определению
(
)
== y,xfdzd
22
2
2
22
2
2
2
dy
y
f
dxdy
yx
f
2dx
x
f
dy
y
f
dx
x
f
d
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
.
Пример 8.23. Найти дифференциал второго порядка функции
(
)
xylnxz
y
+= .
Решение.
( )
+
−−=
− 2
2
2y2
dx
x
1
x1yyzd
( )
2
2
2y1y1-y
dy
y
1
xlnxdxdyxlnyxx
−+++
−
.
