Задача Штурма-Лиувилля. Молчанова Л.А. - 4 стр.

ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ÷åòâåðòîãî ðîäà
                 X(a) = X(b), X 0 (a) = X 0 (b), p(a) = p(b).
Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ÷åòâåðòîãî ðîäà íàçûâàþò óñëîâèÿìè ïåðèîäè÷íîñòè.
    ñëó÷àå ñèíãóëÿðíîé çàäà÷è ðàçëè÷àþò äâà âàðèàíòà çàäà÷ â çàâèñè-
ìîñòè îò òîãî, îäèí èëè äâà êîíöà ñèíãóëÿðíû. Ïóñòü x = a - ñèíãóëÿðíûé
êîíåö, x = b - ðåãóëÿðíûé êîíåö. Òîãäà íà ñèíãóëÿðíîì êîíöå ñòàâèòñÿ
óñëîâèå îãðàíè÷åííîñòè ôóíêöèè
                                X|x→a+0 = 0(1),
à íà ðåãóëÿðíîì êîíöå ìîãóò áûòü óñëîâèÿ ïåðâîãî, âòîðîãî èëè òðåòüåãî
ðîäà.
   Åñëè îáà êîíöà ñèíãóëÿðíû, òî ñòàâÿòñÿ óñëîâèÿ îãðàíè÷åííîñòè ôóíê-
öèè
                    X|x→a+0 = 0(1), X|x→b−0 = 0(1).
   Íàñ áóäóò èíòåðåñîâàòü íåòðèâèàëüíûå X 6= 0 ðåøåíèÿ çàäà÷è. Îäíà-
êî íåòðèâèàëüíûõ ðåøåíèé ïðè äàííîì ïðîèçâîëüíîì λ ìîæåò è íå áûòü.
Ïîýòîìó ñîäåðæàíèåì çàäà÷è Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ ÿâëÿåòñÿ íå òîëüêî îòûñ-
êàíèå ðåøåíèé (ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé ) ïðè äàííîì λ, íî è îïðåäåëåíèå
ñîâîêóïíîñòè (ñïåêòðà) ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé λ, ïðè êîòîðûõ ñóùåñòâóåò
íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ. Ñîáñòâåííûå ôóíêöèè, ïî îïðåäåëåíèþ, íàõîäÿò-
ñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîèçâîëüíîé êîíñòàíòû. Åñëè íàêëàäûâàåòñÿ óñëîâèå
                         Z b
                             r(x)|X(x)|2 dx = 1,
                            a

òî èìåþò äåëî ñ íîðìèðîâàííûìè ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè.
   Äëÿ ðåãóëÿðíîé çàäà÷è Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè
ïåðâîãî, âòîðîãî, òðåòüåãî èëè ÷åòâåðòîãî ðîäà èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå
òåîðåìû.
   Òåîðåìà 1. Âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ðåãóëÿðíîé çàäà÷è Øòóðìà -
Ëèóâèëëÿ âåùåñòâåííû.
   Òåîðåìà 2. Âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ðåãóëÿðíîé çàäà÷è Øòóðìà -
Ëèóâèëëÿ îãðàíè÷åíû ñíèçó.

Íåêîòîðûå ñâîéñòâà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ðåãóëÿðíîé
çàäà÷è Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ
   Äëÿ ðåãóëÿðíîé çàäà÷è â ñîîòâåòñòâèè ñ îáùåé òåîðèåé Êîøè, ìîæíî
óòâåðæäàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò èíòåãðàë X(x) ∈ C (2) óðàâíåíèÿ (1), óäîâëå-
òâîðÿþùèé óñëîâèÿì X(c) = α, X 0 (c) = β , α, β - ëþáûå ÷èñëà, c ∈ (a, b).


                                      4