Задача Штурма-Лиувилля. Молчанова Л.А. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

λ
ϕ
0
(b, λ) + h
b
ϕ(b, λ) + h
a
ψ
0
(b, λ) + h
a
h
b
ψ(b, λ) = 0.
λ
λ
1
< λ
2
< ··· < λ
n
X
n
(x) = B
n
ψ(x, λ
n
), n = 1, 2, 3, ···
X
n
(x) = A
n
ϕ(x, λ
n
), n = 1, 2, 3, ···
X
n
(x) = A
n
[ϕ
n
(x, λ
n
) + h
a
ψ(x, λ
n
)], n = 1, 2, 3, ···
r(x)
Z
b
a
r(x)X
m
(x)X
n
(x)dx =
½
0, m 6= n,
||X
n
||
2
, m = n.
 ñëó÷àå óñëîâèé òðåòüåãî ðîäà óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ λ èìååò âèä

             ϕ0 (b, λ) + hb ϕ(b, λ) + ha ψ 0 (b, λ) + ha hb ψ(b, λ) = 0.

   Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî âñå ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ λ èìååò
áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé.
   Ñïåêòð ðåãóëÿðíîé çàäà÷è Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ - ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî âå-
ùåñòâåííûõ ÷èñåë áåç òî÷åê ñãóùåíèÿ. Ïóñòü λ1 < λ2 < · · · < λn - ïîñëåäî-
âàòåëüíîñòü ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé. Òîãäà â ñëó÷àå óñëîâèé ïåðâîãî ðîäà
áóäåì èìåòü ñîáñòâåííûå ôóíêöèè

                           Xn (x) = Bn ψ(x, λn ), n = 1, 2, 3, · · ·

 ñëó÷àå óñëîâèé âòîðîãî ðîäà áóäåì èìåòü

                           Xn (x) = An ϕ(x, λn ), n = 1, 2, 3, · · ·

è â ñëó÷àå óñëîâèé òðåòüåãî ðîäà

            Xn (x) = An [ϕn (x, λn ) + ha ψ(x, λn )], n = 1, 2, 3, · · ·

   Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
   Òåîðåìà. Ñèñòåìà ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé ðåãóëÿðíîé çàäà÷è Øòóðìà
- Ëèóâèëëÿ îðòîãîíàëüíà íà [a,b] ñ âåñîì r(x), òî åñòü
              Z       b                            ½
                                                       0,         m 6= n,
                          r(x)Xm (x)Xn (x)dx =
                  a                                    ||Xn ||2 , m = n.

Ëèòåðàòóðà
   1. Ãîâîðóõèí Â.Í., Öèáóëèí Â.Ã. Êîìïüþòåð â ìàòåìàòè÷åñêîì èññëå-
äîâàíèè. Ó÷åáíûé êóðñ. - ÑÏá.: Ïèòåð, 2001.
   2. Ãîëîñêîêîâ Ä. Ï. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ðåøåíèå çàäà÷
â ñèñòåìå Maple. Ó÷åáíèê äëÿ âóçîâ. -ÑÏá.: Ïèòåð, 2004.
   3 Áóäàê Á.Ì., Ñàìàðñêèé À.À., Òèõîíîâ À.Í. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ìàòå-
ìàòè÷åñêîé ôèçèêå. Ì.: Íàóêà, 1972.
   4. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ìàòåìàòèêå äëÿ âòóçîâ. Ñïåöèàëüíûå êóðñû. Ì.:
Íàóêà, 1984.
   5. Ñìèðíîâ Ì.Ì. Çàäà÷è ïî óðàâíåíèÿì ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.:
Íàóêà, 1975.
   6. Òèõîíîâ À.Í., Ñàìàðñêèé À.À. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.
Ì.: Íàóêà, 1984.


                                               6

Страницы