Задача Штурма-Лиувилля. Молчанова Л.А. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

(x
2
y
0
)
0
+ λx
2
y = 0, y(0) = O(1), y
0
(a) = 0, x ∈ [0, a].
λ 6= 0 λ = 0
eq := 2 x (
d
dx
y(x)) + x
2
(
d
2
dx
2
y(x)) + λ x
2
y(x) = 0
λ := 0
eq0 := 2 x (
d
dx
y0(x)) + x
2
(
d
2
dx
2
y0(x)) = 0
λ := λ
λ 6= 0
dsol := y(x) =
C1 sin(
√
λ x)
x
+
C2 cos(
√
λ x)
x
0 = 0
y :=
C1 sin(
√
λ x)
x
y1 :=
C1 (−sin(
√
λ x) + cos(
√
λ x)
√
λ x)
x
2
Ïðèìåðû ðåøåíèÿ òèïîâûõ çàäà÷
Ïðèìåð 1. Íàéòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè çàäà÷è
Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ:

           (x2 y 0 )0 + λx2 y = 0, y(0) = O(1), y 0 (a) = 0, x ∈ [0, a].

   Ðåøåíèå. Çàäàäèì óðàâíåíèÿ ïðè λ 6= 0 è λ = 0:
>restart:eq:=diff(x^2*diff(y(x),x),x)+lambda*x^2*y(x)=0;
>lambda:=0;eq0:=subs(y(x)=y0(x),eq);lambda:='lambda';

                           d              d2
            eq := 2 x (      y(x)) + x2 ( 2 y(x)) + λ x2 y(x) = 0
                          dx             dx
                                      λ := 0
                                 d               d2
                 eq0 := 2 x (      y0(x)) + x2 ( 2 y0(x)) = 0
                                dx              dx
                                      λ := λ
Íàõîäèì îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ïðè λ 6= 0:
>dsol:=dsolve(eq,y(x));assign(dsol):
                                    √             √
                            _C1 sin( λ x) _C2 cos( λ x)
             dsol := y(x) =              +
                                  x             x
Ïðîâåðèì ïðàâèëüíîñòü ýòîãî ðåøåíèÿ:
>simplify(value(eq));

                                      0=0
Âèäèì, ÷òî ðåøåíèå áóäåò îãðàíè÷åíî â íóëå, åñëè ïðèíÿòü êîíñòàíòó ïðè
êîñèíóñå ðàâíîé íóëþ:
y:=subs(_C2=0,y(x));
                                           √
                                   _C1 sin( λ x)
                              y :=
                                         x
Íàõîäèì ïðîèçâîäíóþ:
>y1:=simplify(diff(y,x));
                                √           √    √
                      _C1 (−sin( λ x) + cos( λ x) λ x)
                y1 :=
                                    x2

                                        8

Страницы