Задача Штурма-Лиувилля. Молчанова Л.А. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Norma :=
1
2
a (−cos(µ
n
)
2
µ
n
+ µ
n
)
µ
n
Norma :=
1
2
a sin(µ
n
)
2
λ = 0
sol0 := y0(x) = C1 +
C2
x
C2 = 0
C1
λ = 0
f(µ) = −tg(µ) + µ = 0;
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.5
1 1.5
2 2.5 3
mu
f(µ)
Óïðîñòèì ðåçóëüòàò:
>Norma:=subs(sin(mu[n])=mu[n]*cos(mu[n]),Norma);
>Norma:=simplify(Norma,{cos(mu[n])^2=-sin(mu[n])^2+1});

                                1 a (−cos(µn )2 µn + µn )
                     Norma :=
                                2          µn

                                  1
                        N orma := a sin(µn )2
                                  2
Ïðîâåðèì, áóäåò ëè λ = 0 ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì çàäà÷è:
>sol0:=dsolve(eq0,y0(x));assign(sol0):simplify(value(eq0));
                                                _C2
                       sol0 := y0(x) = _C1 +
                                                 x
                                  0=0
   Âèäèì, ÷òî ýòî ðåøåíèå áóäåò îãðàíè÷åííûì â íóëå, åñëè _C2 = 0, à
òîãäà îíî óäîâëåòâîðÿåò âòîðîìó êðàåâîìó óñëîâèþ ïðè ëþáîì _C1. Òà-
êèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì, ÷òî λ = 0 ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì çàäà÷è,
êîòîðîìó îòâå÷àåò ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ, ðàâíàÿ åäèíèöå.
   Ïîñìîòðèì íà ðàñïðåäåëåíèå êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ

                          f (µ) = −tg(µ) + µ = 0;

ïîñòðîèì ãðàôèê ëåâîé ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ:
>plot(f,mu=0..Pi,-0.5..0.5,discont=true,color=black);



               0.4


               0.2


                 0      0.5     1   1.5    2     2.5   3
                                     mu
              –0.2


              –0.4




                      Ðèñ. 1. Ãðàôèê ôóíêöèè f (µ)


                                     10

Страницы