Задача Штурма-Лиувилля. Молчанова Л.А. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

y
00
+ λy = 0, y(a) = 0, y
0
(b) = 0, x ∈ [a, b].
λ 6= 0
eq :=
³
d
2
dx
2
y(x)
´
+ λy(x) = 0
y(x) = C1 sin(
√
λx) + C2 cos(
√
λx)
y := x → C1 sin(
√
λx) + C2 cos(
√
λx)
eq1 := C1 sin(
√
λ˜a) + C2 cos(
√
λ˜a) = 0
eq2 := C1 cos(
√
λ
˜
b)
√
λ − C2 sin(
√
λ
˜
b)
√
λ = 0
A :=
·
sin(
√
λ˜a) cos(
√
λ˜a)
cos(
√
λ
˜
b)
√
λ −sin(
√
λ
˜
b)
√
λ
¸
∆ := −
√
λ cos(
√
λ˜a −
√
λ
˜
b)
   Íàéäåì ïåðâûå òðè êîðíÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ:
>K:=3:mu:=array(1..K):
>for i from 1 to K do
>mu[i]:=fsolve(f=0,mu,mu=i*Pi..(i+1)*Pi):
>print(mu[i]);
>end do:
                            4.493409458
                            7.725251837
                            10.90412166
   Ïðèìåð 2. Íàéòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè çàäà÷è
Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ:

                y 00 + λy = 0, y(a) = 0, y 0 (b) = 0, x ∈ [a, b].

   Ðåøåíèå. Çàäàäèì óðàâíåíèÿ ïðè λ 6= 0
>restart:eq:=diff(y(x),x,x)+lambda*y(x)=0;
                         ³ d2      ´
                      eq :=    y(x)  + λy(x) = 0
                           dx2
Íàõîäèì îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ:
>dsolve(eq,y(x));y:=unapply(rhs(%),x);
                                √              √
                 y(x) = _C1 sin( λx) + _C2 cos( λx)
                                 √              √
                y := x → _C1 sin( λx) + _C2 cos( λx)
Çàäàåì ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ:
>assume(b>a):
>eq1:=y(a)=0;eq2:=D[1](y)(b)=0;
                               √               √
                eq1 := _C1 sin( λã) + _C2 cos( λã) = 0
                            √ √                √ √
             eq2 := _C1 cos( λb̃) λ − _C2 sin( λb̃) λ = 0
Ôîðìèðóåì ìàòðèöó êîýôôèöèåíòîâ è âû÷èñëÿåì åå îïðåäåëèòåëü:
>with(linalg):genmatrix({eq1,eq2},{_C1,_C2});A:=det(%);
>Delta:=combine(%));
                      ·      √            √      ¸
                         sin(
                            √ √λã)  cos(√ λã)√
                 A :=
                       cos( λb̃) λ − sin( λb̃) λ
                              √      √     √
                        ∆ := − λ cos( λã − λb̃)

                                       11

Страницы