Задача Штурма-Лиувилля. Молчанова Л.А. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

eq1 := −sin(
√
λ a) + cos(
√
λ a)
√
λ a = 0
eq1 := −
sin(
√
λ a)
cos(
√
λ a)
+
√
λ a = 0
eq1 := −tan(
√
λ a) +
√
λ a = 0
f := −tan(µ) + µ
f(µ) = −tg(µ) + µ µ =
√
λa
µ
k
, k = 1, 2, 3, ··· f(µ) = 0
λ
k
= (µ
k
/a)
2
sin(µ
k
x/a)/x
y := (x, n) →
sin(
µ
n
x
a
)
x
x
2
Z
a
0
sin(
µ
n
x
a
) sin(
µ
m
x
a
) dx
Z
a
0
sin(
µ
n
x
a
)
2
dx
Norma :=
1
2
a (cos(µ
n
) sin(µ
n
) − µ
n
)
µ
n
Ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé:
>eq1:=expand(subs(x=a,y1)/_C1*a^2)=0;
>eq1:=expand(lhs(eq1)/cos(lambda^(1/2)*a))=0;
                            √           √    √
                eq1 := −sin( λ a) + cos( λ a) λ a = 0
                                  √
                              sin( λ a) √
                     eq1 := −     √     + λa = 0
                              cos( λ a)
Ïðåîáðàçîâûâàåì ýòî óðàâíåíèå è îïðåäåëÿåì ôóíêöèþ, íóëÿìè êîòîðîé
çàäàþòñÿ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ:
>eq1:=convert(eq1,tan);
>f:=subs(lambda^(1/2)*a=mu,lhs(eq1));
                                 √      √
                     eq1 := −tan( λ a) + λ a = 0
                             f := −tan(µ) + µ
                                                              √
Çäåñü ìû ââåëè îáîçíà÷åíèå f (µ) = −tg(µ) + µ, ïðè÷åì µ = λa.
Ïóñòü µk , k = 1, 2, 3, · · · - ïîëîæèòåëüíûå êîðíè óðàâíåíèÿ f (µ) = 0. Òî-
ãäà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ çàäà÷è îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå λk = (µk /a)2 .
Ñîáñòâåííûå ôóíêöèè áóäóò sin(µk x/a)/x. Îïðåäåëÿåì ýòè ôóíêöèè:
>y:=(x,n)->sin((mu[n]/a)*x)/x;
                                              µn x
                                          sin(      )
                       y := (x, n) →            a
                                              x
Ñîãëàñíî îáùåé òåîðèè, ýòè ôóíêöèè îðòîãîíàëüíû íà [0,a] ñ âåñîì x2 .
Ïðîâåðèì ýòî:
>Int(x^2*y(x,n)*y(x,m),x=0..a);res:=value(%);
>simplify(res,{sin(mu[m])=mu[m]*cos(mu[m]),
>sin(mu[n])=mu[n]*cos(mu[n])});
                      Z a
                               µn x         µm x
                          sin(       ) sin(       ) dx
                       0         a           a
                                      0
Âû÷èñëèì êâàäðàò íîðìû:
>Int(x^2*y(x,n)^2,x=0..a);Norma:=simplify(value(%));
                            Z a
                                     µn x 2
                                sin(       ) dx
                             0         a
                               1 a (cos(µn ) sin(µn ) − µn )
                   N orma :=
                               2             µn

                                      9

Страницы