Механические колебания. Молотков Н.Я - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 54
Рис. 55
Вследствие этого частоты связанных противофазных колебаний будут равны
m
k
l
g 2
2
+=ω , (14.5)
т.е.
12
ω>ω , а уравнения имеют вид
txx
m 21
cos
ω
=
′′
, txx
m 22
cos
ω
−
=
′
′
.
Рассмотренные два вида движения связанных маятников, при которых их частота и амплитуда одинаковы, называются
нормальными колебаниями или модами движения. Частоты
1
ω
и
2
ω
, соответствующие двум модам движения, называются
нормальными частотами.
Число различных типов нормальных колебаний и соответствующих им частот равно числу степеней свободы колебатель-
ной системы. В связи с этим в изучаемой системе двух связанных маятников других типов нормальных колебаний, кроме
двух рассмотренных выше, нет.
Покажем, что любое сложное колебание двух связанных маятников можно представить как суперпозицию их нормаль-
ных мод. Приведем в колебание один из связанных маятников ударом киянки. Отмечают, что с течением времени и второй
маятник начинает постепенно раскачиваться. Амплитуда колебаний первого маятника при этом уменьшается, и он совсем
останавливается, в то время как амплитуда колебаний второго достигает максимального значения. Потом колебания второго
маятника угасают, а амплитуда колебаний первого достигает максимального значения. Далее процесс повторяется. Другими
словами, амплитуда каждого маятника изменяется точно так же, как при биениях, возникающих при сложении двух колеба-
ний близких частот. Такое поведение колебательной системы связанных маятников можно понять, обращаясь к нормальным
модам. При возбуждении одного из связанных маятников ударом киянки, каждый маятник участвует в двух движениях с
частотами
1
ω и
2
ω , находящимися в определенной относительной фазе. Но поскольку нормальные частоты
1
ω
и
2
ω
отли-
чаются друг от друга, то изменяется и относительная фаза нормальных колебаний. Когда для первого (второго) маятника
нормальные колебания оказываются совпадающими по фазе, его амплитуда колебаний будет максимальной; для второго
(первого) маятника в этот момент нормальные колебания имеют разность фаз равную
π
и его амплитуда равна нулю.
Уравнения движения маятников при суперпозиции нормальных колебаний будут иметь вид
ttxtxtxx
mmm
ω
ω
∆
=ω+ω= cos
2
cos2coscos
211
;
ttxtxtxx
mmm
ω
ω
∆
=ω−ω= sin
2
sin2coscos
212
,
где
()
21
2
1
ω+ω=ω
– средняя частота;
12
ω−ω=ω∆ – разность частот нормальных колебаний. Так как
ω
<
<ω∆ , то правые
части уравнений движения можно рассматривать как уравнения синусоидальных колебаний с частотой
ω и медленно изме-
няющейся амплитудой. Графики колебаний каждого маятника при сложных связанных колебаниях показаны на рис. 56.
Представляет интерес рассмотреть связанные колебания с энергетической точки зрения. При запуске первого связанного
маятника толчком, вся энергия сосредоточена в нем. В результате связи через

Страницы