Механические колебания. Молотков Н.Я - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
00
sin ϕ+ω
=
txx
m
. (2.2)
Данное уравнение называется уравнением гармонических колебаний. Исследуем его. Так как
()
00
sin
ϕ
+ω t изменяется с
течением времени от +1 до –1, то величина мгновенного смещения x маятника от положения равновесия изменяется в преде-
лах от
m
x+ до
m
x− . Максимальное смещение
m
x маятника от положения равновесия называется амплитудой колебаний,
которая зависит от начальных условий приведения маятника в колебание. Величина
0
ϕ
называется начальной фазой, кото-
рая определяет смещение маятника от положения равновесия в начальный момент времени, т.е.
00
sin
ϕ
=
m
xx . Величина
()
0
ϕ+ωt называется фазой колебания, которая определяет мгновенное смещение маятника в любой момент времени. По-
скольку синус является периодической функцией с периодом
π
2 , то состояние системы повторяется через равные проме-
жутки времени Т. Следовательно, справедливо равенство
(
)
[]
(
)
π
+
ϕ
+
ω
=
ϕ
+
+
ω 2sinsin
000
tTt ,
откуда найдем
T
π
=ω
2
0
, (2.3)
где Т – период гармонических колебаний – время, за которое совершается одно полное колебание. Учитывая, что период ко-
лебаний обратно пропорционален частоте
ν
, под которой понимается число полных колебаний, совершаемых системой за еди-
ницу времени
ν
1
=T
, получим
ν2
0
π
=
ω
. (2.4)
Величина
0
ω , показывающая число полных колебаний, совершаемых системой за
π
2 секунд, называется круговой или
циклической частотой.
На основании изложенного уравнение гармонических колебаний может быть представлено в виде
()
00
ν2sin
2
sin ϕ+π=
ϕ+
π
= txt
T
xx
mm
.
Временная диаграмма гармонических колебаний представлена на рис. 3, где
000
sin ϕ==
= mt
xхх – смещение тела от по-
ложения равновесия в начальный момент времени.
Докажем, что выражение (2.2) является решением дифференциального уравнения (2.1.). Для этого продифференцируем (2.2) по
времени
()
000
cos ϕ+ωω= tx
d
t
dx
m
; (2.5)
()
00
2
0
2
2
sin ϕ+ωω−= tx
dt
xd
m
. (2.6)
+
-
Рис. 3
Подставляя (2.2) и (2.6) в уравнение (2.1), после сокращения получим
0
2
0
=+ω−
m
k
.
Отсюда найдем значение круговой частоты для пружинного маятника
m
k
=ω
0
. (2.7)
На основании (2.3) и (2.4) получим
m
k
π
=
2
1
ν
и
k
m
T π= 2
. (2.8)
Из полученных выражений следует, что период и частота колебаний пружинного маятника не зависит от начальных ус-
ловий, а определяются параметрами колебательной системы: массой маятника и жесткостью пружины.
t

Страницы