Механические колебания. Молотков Н.Я - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Выражения (2.5) и (2.6) можно использовать для анализа изменения скорости и ускорения при гармонических колебани-
ях. Мгновенная скорость равна
() ()
00000
cosvcosv ϕ+ω=ϕ+ωω== ttx
d
t
dx
mm
, (2.9)
где
mm
x
0
v ω= – максимальное значение мгновенной скорости.
Мгновенное ускорение
() ()
0000
2
0
2
2
sinsin ϕ+ω−=ϕ+ωω−== tatx
dt
xd
a
mm
, (2.10)
где
mm
xa
2
0
ω= – амплитуда ускорения при гармонических колебаниях.
На рис. 4 графически представлено изменение смещения x, скорости v и ускорения a с течением времени при
0
0
=
ϕ
. Из
сравнения
Рис. 4
графиков следует, что скорость опережает смещение на
2
π
; ускорение опережает скорость на
2
π
. Между мгновенным смеще-
нием и ускорением имеется разность фаз
π . Другими словами, скорость колеблющейся точки максимальна в моменты про-
хождения ею положения равновесия
()
0=x . При максимальных смещениях
(
)
m
xx
=
скорость равна нулю. Ускорение ко-
леблющейся точки равно нулю при прохождении точкой положения равновесия и достигает максимального значения при
наибольших смещениях.
Колебательную систему принято характеризовать волновым сопротивлением
ρ
, которое определяется отношением ам-
плитуды восстанавливающей силы к амплитуде скорости
m
m
F
v
=ρ
. (2.11)
Для пружинного маятника имеем
km
x
kx
m
m
=
ω
=ρ
0
. (2.12)
Динамическое состояние любой колебательной системы, описываемой дифференциальным уравнением второго поряд-
ка, однозначно определяется двумя переменными: координатой x и скоростью v. Поэтому часто для качественного анализа
возможных движений в системе с одной степенью свободы пользуются методом фазовых диаграмм, который заключается в
следующем. На плоскости, называемой фазовой плоскостью, выбирают прямоугольную систему координат. По оси абсцисс
откладывают мгновенное смещение x, а по оси ординат – мгновенную скорость v колебательной системы. Точка с координа-
тами
()
v;x на фазовой плоскости, характеризующая состояние системы в данный момент времени, называется изображаю-
щей точкой. С течением времени изображающая точка описывает на фазовой плоскости некоторую кривую
(
)
0v;
=
xf , на-
зываемую фазовой траекторией.
Найдем уравнение фазовой траектории для гармонических колебаний. Пусть мгновенное смещение и мгновенная ско-
рость колебаний маятника заданы уравнениями
(
)
00
sin
ϕ
+
ω
= txx
m
,
(
)
00
cosvv
ϕ
+
ω
=
t
m
.
Чтобы найти уравнение фазовой траектории, необходимо из данных уравнений исключить время t. Перепишем их в ви-
де
()
00
2
2
2
sin ϕ+ω= t
x
x
m
;
х
t
t
t
T
2
3
T

Страницы