Механические колебания. Молотков Н.Я - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

()
00
2
2
2
cos
v
v
ϕ+ω= t
m
.
Осуществив сложение этих выражений, получим уравнение фазовой траектории, которое представляет собой эллипс
1
v
v
2
2
2
2
=+
mm
x
x
, (2.13)
причем главные оси эллипса совпадают с осями координат (рис. 5).
Рис. 5
Пусть в начальный момент времени t = 0, мгновенное смещение маятника максимально
m
xx = . Изображающая точка 1
на фазовой диаграмме говорит о том, что в этот момент времени скорость
0v
=
. При 0>t изображающая точка перемеща-
ется в положение 2 и далее, при
Tt
4
1
= изображающая точка занимает положение 3. В этот момент 0=x ,
m
vv
=
. За время,
равное периоду Т колебаний, изображающая точка на фазовой траектории совершает один полный оборот. Анализируя фа-
зовую траекторию, можно заметить, что скорость тела при гармонических колебаниях обращается в ноль при максимальных
смещениях из положения равновесия
m
xx = . При прохождении телом положения равновесия 0=x величина мгновенной
скорости приобретает максимальное значение, равное
m
vv
=
.
В рассмотренном случае горизонтального пружинного маятника (рис. 1) сила тяжести не играет никакой роли в его ко-
лебательном движении. Если же пружинный маятник вертикален (рис. 6), то влияние силы тяжести скажется лишь на том,
что положение равновесия, относительно которого происходят колебания, сместится на величину x
ст
, которая определяет
статическую величину деформации пружины под действием силы тяжести груза, т.е.
ст
kxmg = . Если груз m сместить от
положения равновесия на величину x, то на маятник будет действовать восстанавливающая сила, равная
kx . При этом нача-
ло координат О на оси x совпадает с положением равновесия груза. Следовательно, уравнение движения маятника имеет вид
kx
dt
xd
m −=
2
2
,
что совпадает с формулой (2.1). Частота колебаний будет определяться формулой (2.2).
Рассмотрим вертикальные колебания груза массой m, который закреплен между двумя пружинами
с жесткостью
1
k и
2
k (рис. 7, а). Начало оси координат x, т.е. точка О совпадает с положением рав-
новесия груза. При отклонении тела по вертикали на расстояние x получим
()
xkxkkxkxk
dt
xd
m
112121
2
2
−=+−=−−= ,
так как обе силы упругости направлены к положению равновесия. Следова-
тельно,
Рис. 7
эквивалентная жесткость таких «параллельно соединенных» пружин равна
2111
kkk +
=
(2.14)
и частота колебаний будет равна
х
Рис. 6
x
О
k
k
m
х
ст

Страницы